测试的反函数

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没有反函数的短的正式定义。 我们这里设法避免正式定义和描述反函数为了介绍阅读程序给这个概念。 我们考虑功能y = 2^x,使用上标y = 2x :

 

y = 2^x

当x=0, y=2^0=1。 当x=1, y=2^1=2。 当x=2, y=2^2=4。 现在让要求: 为什么X - Y的=1 ? 答复: 为x=0。 为什么X - Y的=2 ? 为x=1。 为什么X - Y的=4 ? 为x=2。  因而为y的所有特定值我们有确切对应一x。 这满足功能的定义。 因此,我们有一个功能,其中y是变元,并且x是值,并且这个域的地方y=2^x的范围和范围是y=2^x.域。 由建筑我们的功能为特定变元回归实际的数量b这样a=2^b。 这是对数的定义与基础2.记数法b=log2a或x=log2y。 因为变元由x和值按照惯例表示由y,我们必须切换x和y。 因而我们获得y=log2x。 此功能是由建筑反函数y = 2x。 注意图形为y = 2x和图形为x=log2y相符。 但是,当我们切换x和y时的角色,这个图形反射关于坐标系统主要对角线。 因而y=log2x图形是对称的对图形y = 2x关于主要对角线:

y = 2^x和y =日志(x)基础2

现在考虑y=sin (x)。 我们建立一个反函数为正弦。 因此,为了y的特定值我们想要查找x这样y=sin (x)。 我们由g.表示这样反函数。 因此, x=g (y)。 现在切换x和y.的角色。 我们获得y=g (x)。 我们,即然y=g图形(x)对称对y=sin图形(x)关于主要对角线。 我们可以建立这样照片使用注标的计算器第2参数从算术中心第2级

x=tau、y=sin (tau)和x=sin (tau), y=tau

我们看见g图形(x)不满足为那里特定x正确地是一对应的y.功能的要求。 因此,什么我们编译了不是功能。 事情在哪里出了错? 区别在之间y = 2x和y=sin (x)是一个是一一对应函数,并且秒钟不是。 我们不可能建立反函数为y=sin (x)在途中和一样为y = 2x。 这种情形的解决是缩小sin域(x)估量它是在对一的地方。 我们可以选择所有间隔长度π,但是常规是在始发地附近选择,从- π/2到π/2。 在这样域sin(x)是一对一的。 现在我们可以建立反函数g (x)为这样“限制了”sin(x) :

y=sin (x)和y=asin (x)在[- pi/2, pi/2]

绿线是缩小的正弦图形,并且蓝线是正弦的反函数。 在正确的视窗我们能看到在两个功能是接近主要对角线y=x.的始发地附近正弦的反函数历史上称Arcsine,那是弧(角度)与正弦相应的特定值。 反正弦域是间隔[- 1, 1],并且这个范围是[- π/2, π/2]。

同样我们建立反余弦为余弦与域[- 1, 1]和范围[0, π]。 紫色线是余弦图形,并且黄线是反余弦图形。

y=cos (x)和y=acos (x)在[0, pi]

同样我们建立反正切与域整个实际线路和范围(- π/2, π/2)。

y=atan (x)

同样我们建立包括二个间隔的Arccotangent与包括二个间隔的域(-无限, 0), (0,无限)和范围[- π/2, 0), (0, π/2]。 注意零不在这个范围。 的确,在弧零正弦是零。 从ctg (x)=cos(x)/sin (x), ctg (0)是cos(0) /sin (0) =1/0什么是不可能的。 Arccotangent绿色图形是余切蓝色图形的中央部分的反映关于主要对角线。 虽然被留下的(粗糙的)视窗显示绿色垂直行(编程的限制)正确(更加细致的)视窗表示, Arccotangent不是定义在零。

y=actg (x)和y=ctg (x)

在大厦反三角函数以后y=x^3的大厦反函数任务是容易。 明显地这是x第三根或者同一y=x^ (1/3) :

y=x^3和y=x^ (1/3)

考虑y=x^2。 再次这不是一一对应函数,并且我们缩小y=x^2域到间隔[0,无限),其中y=x^2是一对一的。 明显地y=x^2的反函数是方根x, y=x^ (1/2) :

y=x^2和x=^ (1/2)

注意我们了解建立反函数为所有功能。 我们类似映射功能到功能于映射编号到编号。 映射功能到功能称运算符。 因此我们应用反函数运算符于功能f (x)和获得反函数g (x)。 这样g (x)是表示的f -1 (x)。 查找类似于f (x)在次幂减一个。 使用环境区分。 因而而不是反正弦、反余弦、反正切和Arccotangent我们可以写sin1, COS1,晒黑1, ctg-1。 注意反函数的反函数是原始功能,那是(f -1 (x)) - 1=f (x)。 并且注意f (f -1 (x)) =x在域f -1 (x),但是f -1 (f (x))不一定是x在f (x)域。 什么是窍门? 这个区别在域(和范围)。 f域(f -1 (x))是域f -1 (x),那是f (x)和域的范围f -1 (f (x))是f (x)域。  f图形(f -1 (x))总是主要对角线的部分。 图形f -1 (f (x))可能与主要对角线仅相符在始发地(有时与整个主要对角线)。 下面是示例。

y= (x^2)^ (1/2)

y= (x^2)^ (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (罪孽(x))

图形和arcsin一样(sin(x))有功能(- 1) ^floor (1/2 - x/π) * (x+π*floor (1/2-x/π))。

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (COS (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (棕褐色(x))

y=arctan (棕褐色(x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

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