测试的泰勒和Maclaurin多项式

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我们知道,内部计算机操作是相当原始二进制操作。 我们不可能期待有机器代码为计算的表达式象sin(1/4)。 它是任务为程序员。 当然,应该这里介入Maclaurin和泰勒多项式作为桥梁在算术运算和平稳的功能之间。 我们测试Maclaurin和泰勒系列的功能在帮助下注标的计算器第2数字从算术中心第2.级。

考虑正弦y=sin (x)图形。 Maclaurin系列为正弦是 Σ (0; 无限; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!) 。 我们正弦图形与另外程度Maclaurin多项式比较图形为正弦。 根据注标的计算器第2数字Maclauren多项式为正弦是Σ (0; 程度; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)。 多项式零的程度,那是y=x,是一个好近似值在始发地附近。

Σ (0; 0; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

其次最高级Maclaurin多项式:

Σ (0; 1; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

其次第二级Maclaurin多项式:

Σ (0; 2; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

其次严刑逼供Maclaurin多项式:

Σ (0; 3; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

其次第四个程度Maclaurin多项式:

Σ (0; 4; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

 

现在通用picuture变得清楚。 我们加速和跳到第十个程度Maclaurin多项式:

Σ (0; 10; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

其次第二十个程度Maclaurin多项式:

Σ (0; 20; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

它是确切我们可以找到充分地大程度Maclaurin多项式为所有x。 因而我们可以接近sin(x)在间隔任何长度在计算充分地大程度的Maclaurin多项式始发地附近。 第二十个程度Maclaurin多项式的声音好,除了计算比第四个程度Maclaurin多项式的计算值得注意地长期是。 我们在功能班次图形配方的知道那添加一个编号n到x到左边由n部件。 相应地减去一个编号n到x在功能配方转移图形在右边由n部件。 让尝试Σ (0; 4; (- 1) ^k* (x-5) ^ (2k+1)/(2k+1)!) :

错误的班次

我们看见这个多项式不再是正弦的一个好近似值。 什么是错误的? 替换x被x-5我们做Maclaurin多项式成泰勒多项式。 但是在泰勒多项式为正弦在5系数在第n个程度的成员不是(-仅1) ^n,什么交替正弦和余弦在零,但是交替的正弦和余弦在5。 要补救情形我们由2π的多个转移。 然后系数再(- 1) ^n.班次由2π在左面:

泰勒多项式在-2pi

由2π转移在右边:

泰勒多项式在2pi

因此为一个好近似值我们首先查找最近2π的特定x多个。 然后计算对应的泰勒多项式与某个(不非常高)程度。 从如下这张照片我们能看到甚而程度产生不坏近似值:

泰勒多项式第四个程度 

 

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