Het onderzoeken van Omgekeerde Functies

Wiskundige Software. Wiskundig Onderzoek. Wiskundig Onderwijs. De Producten van Tvalx.

 

Er is geen korte formele definitie van omgekeerde functies. Hier vermijden wij try to formele definitie en beschrijven omgekeerde functies om lezer aan het concept te introduceren. Overweeg functie y = 2^x, superscript gebruiken y = 2x:

 

y = 2^x

Wanneer x=0, y=2^0=1. Wanneer x=1, y=2^1=2. Wanneer x=2, y=2^2=4. Liet nu vragen: voor welke x-y =1? Antwoord: voor x=0. Voor welke x-y =2? Voor x=1. Voor welke x-y =4? Voor x=2.  Aldus voor om het even welke bepaalde waarde van y hebben wij precies corresponderend één x. Dit voldoet aan de definitie van functie. Zo, hebben wij een functie waar y argument is en x een waarde is en waar het domein waaier van y=2^x is en de waaier domein van y=2^x. is. Door bouw onze functie voor bepaald argument winst echt aantal B dusdanig dat a=2^b. Dit is een definitie van logaritme met basis 2. Aantekening b=log2a of x=log2y. Aangezien door overeenkomst het argument door x en waarde door y wordt aangeduid, moeten wij x en y. schakelen. Aldus krijgen wij y=log2x. Deze functie is door bouw de omgekeerde functie van y = 2x. Merk op dat de grafiek voor y = 2x en de grafiek voor x=log2y samenvallen. Maar wanneer wij rollen van x en y schakelen, wordt de grafiek weerspiegeld met betrekking tot de belangrijkste diagonaal van gecoördineerd systeem. Aldus is de grafiek van y=log2x symmetrisch aan grafiek van y = 2x met betrekking tot de belangrijkste diagonaal:

y = registreren 2^x en y = (x) basis 2

Overweeg nu y=sin (x). Bouw een omgekeerde functie voor Sinus. Zo, voor bepaalde waarde van y dat wij hebben willen om x vinden dusdanig dat y=sin (x). Duid dergelijke omgekeerde functie door g. aan. Zo, x=g (y). Nu schakelaarrollen van x en y. Wij krijgen y=g (x). Wij nu grafiek van y=g (x) symmetrisch aan grafiek van y=sin (x) met betrekking tot de belangrijkste diagonaal. Wij kunnen dergelijk beeld bouwen gebruikend Grafisch voorstellend Calculator tweede Parametrisch van Niveau 2 van het Centrum Math:

x=tau, y=sin (tau) en x=sin (tau), y=tau

Wij zien dat de grafiek van g (x) aan geen eis ten aanzien van functies voldoet die voor bepaald x er precies één overeenkomstig y. is. Zo, is wat wij bouwden geen functie. Waar de dingen verkeerd gingen? Het verschil tussen y = 2x en y=sin (x) is dat de eerste afsinrlijke functie is en de tweede niet is. Wij kunnen geen omgekeerde functie voor y=sin (x) op the samemanier zoals voor bouwen y = 2x. De remedie van de situatie moet domein van sin (x) aan grootte versmallen waar het op-aan- is. Wij kunnen om het even welk interval van lengte π kiezen maar de overeenkomst moet kiezen dichtbij de oorsprong, van - π/2 aan π/2. Op dergelijk domein is de sin (x) afsinrlijk. Nu kunnen wij omgekeerde functie g (x) voor dergelijke „beperkte“ sin (x) bouwen:

y=sin (x) en y=asin (x) [- pi/2, pi/2]

De groene lijn is grafiek van versmalde Sinus en de blauwe lijn is omgekeerde functie van Sinus. In het juiste venster kunnen wij die dichtbijgelegen oorsprong zien beide functies dicht zijn aan hoofd diagonale y=x. Historisch werd de omgekeerde functie van Sinus genoemd Arcsine, die boog die (hoek) aan bepaalde waarde van Sinus beantwoordt is. Het domein van Arcsine is interval [- 1, 1] en de waaier is [- π/2, π/2].

Zo ook bouwen wij Arccosine voor Cosinus met domein [- 1, 1] en waaier [0, π]. De purpere lijn is grafiek van Cosinus en de gele lijn is grafiek van Arccosine.

y=cos (x) en y=acos (x) [0, pi]

Zo ook bouwen wij Arctangent met domein de volledige echte lijn en de waaier (- π/2, π/2).

y=atan (x)

Zo ook bouwen wij Arccotangent met domein dat uit twee intervallen (- oneindigheid, 0) bestaat, (0, oneindigheid) en waaier die uit twee intervallen [bestaat - π/2, 0), (0, π/2]. Merk op dat nul niet in de waaier is. Bij boog nul de Sinus is namelijk nul. Sinds ctg (x) =cos(x) /sin (x), ctg (0) cos(0) /sin (0) =1/0 zou zijn wat onmogelijk is. De groene grafiek van Arccotangent is een weerspiegeling van centraal deel van blauwe grafiek van Cotangens met betrekking tot hoofddiagonaal. Hoewel het verlaten (ruwe) venster groene verticale lijn (beperking van programmering) juist (het fijnere) toont venster toont aan dat Arccotangent niet bij nul moet bepalen.

y=actg (x) en y=ctg (x)

Na de bouw van omgekeerde trigonometrische functies is de taak om omgekeerde functie van y=x^3 te bouwen gemakkelijk. Duidelijk is dit derde wortel van x, of the same y=x^ (1/3):

y=x^3 en y=x^ (1/3)

Overweeg y=x^2. Opnieuw is dit geen afsinrlijke functie en wij versmallen domein van y=x^2 aan interval [0, oneindigheid), waar y=x^2 afsinrlijk is. Duidelijk is de omgekeerde functie van y=x^2 vierkantswortel van x, y=x^ (1/2):

y=x^2 en x=^ (1/2)

Merk op dat wij leren om omgekeerde functie voor om het even welke functie te bouwen. Wij brengen functies zo ook aan functies in kaart aan afbeeldingsaantallen aan aantallen. De afbeelding van functies aan functies wordt genoemd exploitant. Zo passen wij omgekeerde functieexploitant op een functie F (x) toe en krijgen omgekeerde functie g (x). Dergelijk g (x) is aangeduid F -1 (x). Kijkt gelijkaardig aan F (x) in macht minus. De te onderscheiden context van het gebruik. Aldus in plaats van Arcsine, Arccosine, Arctangent en Arccotangent kunnen wij sin-1, cos.-1, tan-1, ctg-1 schrijven. Merk op dat de omgekeerde functie van omgekeerde functie de originele functie is, die (F -1 (x) is)- 1=f (x). Neem nota ook van dat F (F -1 (x))=x op domein van F -1 (x) maar F -1 (F (x)) is noodzakelijk geen x op domein van F (x). Wat is de truc? Het verschil is in domein (en waaier). Het domein van F (F -1 (x)) is domein van F -1 (x), dat waaier van F (x), en domein van F -1 (F (x) is) is domein van F (x).  De grafiek van F (F -1 (x))  is altijd een deel van de belangrijkste diagonaal. De grafiek van F -1 (F (x)) kan met hoofddiagonaal slechts bij de oorsprong (soms met volledige hoofddiagonaal) samenvallen. Hieronder zijn de voorbeelden.

y= (x^2) ^ (1/2)

y= (x^2) ^ (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin (x))

y=arcsin (sin (x))

De grafiek van The same zoals arcsin (sin (x)) heeft functie (- 1) ^floor (1/2 - x/π) * (x+π*floor (1/2-x/π)).

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (cos (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (tan (x))

y=arctan (tan (x))

 

arctan y=tan ((x))

arctan y=tan ((x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

© 2008 Tvalx

Het Embleem van Tvalx