Onderzoekend Veeltermen Taylor en Maclaurin

Wiskundige Software. Wiskundig Onderzoek. Wiskundig Onderwijs. De Producten van Tvalx.

 

Zoals wij het weten, zijn de interne computerverrichtingen vrij primitieve binaire verrichtingen. Wij kunnen niet verwachten dat er machinecodes voor de gegevensverwerking van uitdrukkingen zoals sin (1/4) zijn. Het is taken voor programmeur. Natuurlijk, zou de veelterm van Maclaurin en Taylor hier als brug tussen rekenkundige verrichtingen en vlotte functies moeten worden geïmpliceerdz. Onderzoek mogelijkheden van de reeks van Maclaurin en Taylor met hulp van het Grafisch voorstellen van Calculator tweede Numeriek van Niveau 2 van het Centrum Math.

Overweeg grafiek van Sinus y=sin (x). De reeks van Maclaurin voor Sinus is Σ (0; oneindigheid; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!) . Vergelijk grafiek van Sinus met grafieken van veeltermen Maclaurin van verschillende graad voor Sinus. In termen van het Grafisch voorstellen van Numerieke Calculator tweede is de veelterm Maclauren voor Sinus Σ (0; graad; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!). Zelfs is de veelterm van nul graad, die y=x is, een goede benadering dichtbij de oorsprong.

Σ (0; 0; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Daarna is de veelterm Maclaurin van eerste graad:

Σ (0; 1; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Daarna is de veelterm Maclaurin van tweede graad:

Σ (0; 2; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Daarna is de veelterm Maclaurin van derde graad:

Σ (0; 3; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Daarna is de veelterm Maclaurin van vierde graad:

Σ (0; 4; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

 

Nu wordt algemene picuture duidelijk. Versnel en de veelterm van jump toMaclaurin van tiende graad:

Σ (0; 10; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Daarna is de veelterm Maclaurin van twintigste graad:

Σ (0; 20; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Het is duidelijk dat wij veelterm Maclaurin van voldoende grote graad voor om het even welk x. kunnen vinden. Aldus kunnen wij sin (x) op interval van om het even welke lengte rond de oorsprong benaderen berekenend veelterm Maclaurin van voldoende grote graad. Goed van geluiden behalve dat de berekening van veelterm Maclaurin van twintigste graad was in het bijsinr langer dan berekening van veelterm Maclaurin van vierde graad. Wij weten dat het toevoegen van een aantal n aan x in formule van functie grafiek naar de linkerzijde door neenheden verplaatst. Navenant verplaatst het aftrekken van een aantal n aan x in formule van functie grafiek naar het recht door neenheden. Laat poging Σ (0; 4; (- 1) ^k* (x-5) ^ (2k+1)/(2k+1)!) :

Verkeerde Verschuiving

Wij zien dat de veelterm geen goede benadering meer van Sinus is. Wat verkeerd is? Vervangend x door x-5 maken wij veelterm Maclaurin in Taylor veelterm. Maar in Taylor veelterm voor Sinus bij 5 is de coëfficiënt bij lid van nth graad niet alleen (- 1) ^n, wat Sinus en Cosinus bij nul, maar afwisselende Sinus en Cosinus bij 5 afwisselt. Om de situaties te verhelpen verschuiven door veelvoud van 2π. Dan zijn de coëfficiënten opnieuw (- 1) ^n. Verschuiving door 2π naar de linkerzijde:

Taylor veelterm bij -2pi

Verschuiving door 2π naar het recht:

Taylor veelterm bij 2pi

Zo voor een goede benadering die wij eerst het meest dichtbij aan bepaald xveelvoud van 2π hebben gevonden. Dan bereken overeenkomstige Taylor veelterm met één of andere (niet zeer hoge) graad. Van het beeld hieronder kunnen wij zien dat de graad niet slechte benadering zelfs vooruit geeft:

Taylor uit meerdere namen bestaande vierde graad 

 

© 2008 Tvalx

Het Embleem van Tvalx