Omgekeerde functies. Grondige studie van concept.

Wiskundige Software. Wiskundig Onderzoek. Wiskundig Onderwijs. De Producten van Tvalx.

 

 

In het artikel dat Omgekeerde Functies onderzoekt maakten wij eerste benadering van het onderwerp vermijdend formele definitie van omgekeerde functie. Bestudeer grondig het concept omgekeerde functie.

Van reeks-theoretisch standpunt is een functie een reeks bevolen paren. Bijvoorbeeld, is y=2x {(x, 2*x) | x ϵ R}. Neem om het even welke afsinrlijke functie F = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)}, waar F function as een reeks bevolen paren en in het algemeen van de gegevensverwerking van y voor bepaald x. aanduidt. Het domein van F is D en de waaier is R. Overweeg reeks bevolen paren g = {(y, x) | x ϵ D, y=f (x)}. Zo, schakelden wij x en y. Is g een functie? Aangezien F, ja afsinrlijk is, is g een functie. Voor elk bepaald y hebben wij precies het één corresponderen x. De brieven x en y zijn enkel symbolen gebruikte binnenkant krulden steunen. Als wij g = {(a, B) schrijven | x ϵ D, a=f (B)}, verandert de logica niet. Zo kunnen wij schrijven g = {(x, y) | y ϵ D, x=f (y)} overeenkomst volgen dat het argument door x en waarde wordt aangeduid wordt aangeduid door y. Aldus kunnen wij een definitie formuleren:

Definitie 1.

Laat F = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} ben een afsinrlijke functie. Dan g = {(x, y) | y ϵ D, x=f (y)}wordt genoemd omgekeerde functie voor f.

 

Door overeenkomst wordt een omgekeerde functie van F aangeduid door F -1. Zo g = F -1.

Het is mogelijk om een strikt reeks-theoretisch bewijs te geven dat er precies één omgekeerde functie voor bepaald f. is. Keur het goed duidelijk.

Merk op dat als g de omgekeerde functie voor F toen is F de omgekeerde functie voor g. is. F = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} = {(x, y) | y ϵ R, x=g (y)}. Aldus zijn de logische rollen van F en g symmetrisch. Noch hebben F noch g om het even welke voorkeur over elkaar. Aldus kunnen wij zeggen dat voor om het even welke afsinrlijke functie er precies één paar wederzijds omgekeerde functies is. Het schakelen x en y resulteren namelijk in omschakeling tussen twee functies. Roep het een paar wederzijds omgekeerde functies.

Onder standaardfuncties hebben wij volgende paren wederzijds omgekeerde functies:  (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Wij kunnen onbelangrijkere paren wederzijds omgekeerde functies ook construeren: (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Tijdens dergelijke bouw wij „oplossen“ originele functie voor y. Bijvoorbeeld, y = wordt 1 + 2x opgelost voor y: x = (y -1)/2. Aldus krijgen wij een paar wederzijds omgekeerde functies (1 + 2x, (x - 1) /2). Wij zouden dergelijke „oplossing“ moeten gebruiken zorgvuldig, aangezien het slechts voor afsinrlijke functies werkt (de afsinrlijke functies worden genoemd bijections in Verzamelingenleer).

Wij gebruikten aan think ofarcsine als omgekeerde functie van sinus. Is het niet? In betekenis van Definitie 1 is het antwoord Nr. Arcsine is een bijection en heeft een omgekeerde functie, die een beperking van sinus aan interval [- π/2, π/2] is. Aldus vormen arcsine en de beperking van sinus aan interval [- π/2, π/2] een paar omgekeerde functies. Wij konden sinus en arcsine een conventioneel paar omgekeerde functies roepen. Een ander voorbeeld van conventioneel paar omgekeerde functies is een geregeld paar van x en vierkantswortel van x. Maar wij zouden moeten herinneren dat de feiten, die voor paren omgekeerde functies waar zijn, niet noodzakelijk waar voor conventionele paren omgekeerde functies zijn.

 

© 2008 Tvalx

Het Embleem van Tvalx