Het onderzoeken van de regeling van de Kwadratuur tanh-Sinh

Wiskundige Software. Wiskundig Onderzoek. Wiskundig Onderwijs. De Producten van Tvalx.

 

 

De regeling van de tanh-sinhkwadratuur was werd ontwikkeld door Takasi en Mori: Takahasi, Hidetosi; Mori, Masatake (1974), „verdubbelt exponentiële formules voor numerieke integratie“, Publicaties van het Onderzoekinstituut van voor Wiskundige Wetenschappen 9 (3): 721-741

De recentste publicatie:  David H. Bailey, Karthik Jeyabalan, en Xiaoye S. Li, een „vergelijking van drie high-precision kwadratuurregeling“. Experimentele Wiskunde, 14.3 (2005).

Wij hebben ons eigen onderzoek met hulp van Precisie 90 van de Calculator van de Kwadratuur gedaan.

De regeling werkte zeer goed voor grote verscheidenheid van vlotte functies. Zelfs voor functies met het kweken van derivaten op eindpunten.

De regeling slaagde om met de functie van Gamma's samen te komen er niet in.

Een speciale functie werd geconstrueerd om aan te tonen dat de regeling soms verkeerd antwoord geeft. Namelijk F (x) = (sin (8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. De regeling geeft resultaat bijna nul. Het was voorspelbaar omdat de functies nul waarde op punten heeft waar de regeling op niveau 1 en 2 berekent. Maar de daadwerkelijke integraal is niet dicht aan nul. Zie zijn grafiek:

Het tegenvoorbeeld van de Kwadratuur tanh-Sinh

 

High-Precision Kwadratuur“ David H. Bailey1 19 Januari 2006 in van publicatie de „tanh-Sinhn, geeft David Bailey foutenschatting h* (h (2π))^2*Σ (- n; n; F '' (k*h)). David Bailey overweegt het „hoogst nauwkeurig“. In experiment werden wij door deze formule 4.2E-5 voor cos(x) [- 1, 1] op niveau 5 met daadwerkelijke nauwkeurigheid 15 cijfers en overeenkomstige onzekerheid 5.0E-15. Op niveau 6 zou het 1E-5 zijn en op niveau 7 (daadwerkelijke nauwkeurigheid meer dan 90 cijfers) het zou 2.5E-6 zijn. h*Σ (- n; n; F '' (k*h))/(2π) ^2 verandert niet beduidend en h^2 wordt verdeeld door 4 op elk niveau. Dergelijke schatting is verre van hoogst nauwkeurig het zijn „“.

Conclusie. De regeling van de tanh-sinhkwadratuur komt snel en nauwkeurig voor grote verscheidenheid van functies met weinig uitsinringen samen. Er is geen praktische universele procedure van de foutenschatting. Wanneer het algoritme „normaal“ samenkomt, is het verschil tussen niveaussommen een praktische foutenschatting.

 

 

 

 

© 2008 Tvalx

Het Embleem van Tvalx