Exploration des fonctions inverses

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Il n'y a aucune définition formelle courte des fonctions inverses. Ici nous essayons d'éviter la définition formelle et de décrire des fonctions inverses afin de présenter le lecteur au concept. Considérons la fonction y = 2^x, using l'exposant y = 2x :

 

y = 2^x

Quand x=0, y=2^0=1. Quand x=1, y=2^1=2. Quand x=2, y=2^2=4. Laissent maintenant demander : pour quel =1 de x/y ? Réponse : pour x=0. Pour quel =2 de x/y ? Pour x=1. Pour quel =4 de x/y ? Pour x=2.  Ainsi pour n'importe quelle valeur donnée de y nous prenons la correspondance exactement un X. Ceci satisfait la définition de la fonction. Ainsi, nous avons une fonction où y est argument et x est une valeur et où le domaine est intervalle de y=2^x et intervalle est domaine de y=2^x. Par la construction notre fonction pour l'argument donné retours vrai nombre b tels qu'a=2^b. C'est une définition de logarithme avec la notation b=log2a ou x=log2y de la base 2. Puisque par convention l'argument est dénoté par x et valeur par y, nous devons commuter x et Y. Ainsi nous obtenons y=log2x. Cette fonction est par la construction la fonction inverse de y = 2x. Noter que le graphique pour y = 2x et le graphique pour x=log2y coïncident. Mais quand nous commutons des rôles de x et de y, le graphique est reflété en ce qui concerne la diagonale principale du système du même rang. Ainsi le graphique de y=log2x est symétrique au graphique de y = 2x en ce qui concerne la diagonale principale :

y = 2^x et y = logarithme naturel (x) base 2

Considérer maintenant le y=sin (x). Établissons une fonction inverse pour le sinus. Ainsi, parce que valeur donnée de y nous voulons trouver x tels que le y=sin (x). Dénotons une telle fonction inverse par le G. Ainsi, x=g (y). Commuter maintenant les rôles de x et de Y. Nous obtenons le y=g (x). Nous maintenant que graphique de y=g (x) symétrique au graphique du y=sin (x) en ce qui concerne la diagonale principale. Nous pouvons établir une telle image using la calculatrice de graphique 2D paramétrique du niveau 2 de centre de maths :

x=tau, y=sin (tau) et x=sin (tau), y=tau

Nous voyons que le graphique de g (x) ne répond pas à l'exigence pour des fonctions qui pour x donné là est exactement un Y. correspondant. Ainsi, ce que nous avons construit n'est pas une fonction. Où les choses sont allées mal ? La différence entre y = 2x et y=sin (x) est que le premier est fonction linéaire et la seconde n'est pas. Nous ne pouvons pas établir la fonction inverse pour le y=sin (x) sur le même chemin que pour y = 2x. Le remède de la situation est de rétrécir le domaine du sin(x) pour classer à où il est sur--un. Nous pouvons choisir n'importe quel intervalle de π de longueur mais la convention est de choisir près de l'origine, - de π/2 à π/2. Sur un tel péché de domaine (x) est linéaire. Maintenant nous pouvons établir la fonction inverse g (x) pour le tel « a limité » le sin(x) :

y=sin (x) et y=asin (x) sur [- pi/2, pi/2]

La Ligne Verte est graphique de sinus rétréci et la ligne bleue est fonction inverse de sinus. Dans la fenêtre droite nous pouvons voir que près de l'origine que les deux fonctions sont proche de la diagonale principale y=x. historiquement la fonction inverse du sinus s'est appelée Arcsine, celui est l'arc (angle) correspondant à la valeur donnée du sinus. Le domaine de l'arcsinus est intervalle [- 1, 1] et l'intervalle est [- π/2, π/2].

De même nous établissons l'arccosinus pour le cosinus avec le domaine [- 1, 1] et l'intervalle [0, π]. La ligne des pourpres est graphique de cosinus et la ligne jaune est graphique d'arccosinus.

y=cos (x) et y=acos (x) sur [0, pi]

De même nous établissons l'arctangente avec le domaine la vrais ligne et intervalle entiers (- π/2, π/2).

y=atan (x)

De même nous établissons Arccotangent avec le domaine se composant de deux intervalles (- l'infini, 0), (0, infini) et intervalle se composant de deux intervalles [- π/2, 0), (0, π/2]. Noter que zéro n'est pas dans l'intervalle. En effet, à l'arc zéro le sinus est zéro. Depuis le ctg (x)=cos(x)/sin (x), le ctg (0) serait cos(0) /sin (0) =1/0 ce qui est impossible. Le graphique vert d'Arccotangent est une réflexion de partie centrale de graphique bleu de Cotangent en ce qui concerne la diagonale principale. Bien que la fenêtre (brute) laissée affiche que la ligne verticale verte (limitation de la programmation) le droit une fenêtre (plus fine) prouve qu'Arccotangent n'est pas de définir à zéro.

y=actg (x) et y=ctg (x)

Après des fonctions trigonométriques inverses de bâtiment la tâche de la fonction inverse de bâtiment de y=x^3 est facile. Évidemment c'est la troisième racine de x, ou le même y=x^ (1/3) :

y=x^3 et y=x^ (1/3)

Considérer y=x^2. De nouveau ce n'est pas fonction linéaire et nous rétrécissons le domaine de y=x^2 à l'intervalle [0, infini), où y=x^2 est linéaire. Évidemment la fonction inverse de y=x^2 est racine carrée de x, le y=x^ (1/2) :

y=x^2 et x=^ (1/2)

Noter que nous apprenons à établir la fonction inverse pour n'importe quelle fonction. Nous traçons des fonctions aux fonctions assimilé à tracer des nombres aux nombres. La cartographie des fonctions aux fonctions s'appelle l'opérateur. Ainsi nous appliquons l'opérateur de fonction inverse à une fonction f (x) et obtiennent la fonction inverse g (x). Un tel g (x) est f dénoté -1 (x). Regarde assimilé à f (x) dans la puissance sans une. Employer le contexte pour distinguer. Ainsi au lieu de l'arcsinus, de l'arccosinus, de l'arctangente et de l'Arccotangent nous pouvons sauver sin-1, cos-1, tan-1, ctg-1. Noter que fonction inverse de fonction inverse est la fonction initiale, c'est (f -1 (x)) - 1=f (x). Noter également que f =x (de f -1 (x)) sur le domaine de f -1 (x) mais f -1 (f (x)) n'est pas nécessairement x sur le domaine de f (x). Quel est le tour ? La différence est dans le domaine (et l'intervalle). Le domaine de f (f -1 (x)) est domaine de f -1 (x), celui est intervalle de f (x), et de domaine de f -1 (f (x)) est domaine de f (x).  Le graphique de f (f -1 (x)) est toujours une partie de la diagonale principale. Le graphique de f -1 (f (x)) peut coïncider avec la diagonale principale seulement à l'origine (parfois avec la diagonale principale entière). Au-dessous de sont les exemples.

y= (x^2)^ (1/2)

y= (x^2)^ (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (péché (x))

Le même graphique que l'arcsin (le sin(x)) a le ^floor de fonction (- 1) (1/2 - x/π) * (x+π*floor (1/2-x/π)).

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (cos (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (tan (x))

y=arctan (tan (x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

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