Exploration des polynômes de Taylor et de Maclaurin

Logiciel mathématique. Recherche mathématique. Éducation mathématique. Produits de Tvalx.

 

Comme nous savons, les opérations machine internes sont des exécutions binaires assez primitives. Nous ne pouvons pas compter qu'il y a des codes machine pour des expressions de calcul comme le sin(1/4). Il est des tâches pour le programmeur. Naturellement, le polynôme de Maclaurin et de Taylor devrait être impliqué ici comme passerelle entre les opérations arithmétiques et les fonctions douces. Explorons les capacités des séries de Maclaurin et de Taylor avec l'aide de la calculatrice de graphique 2D numérique du niveau 2. de centre de maths.

Considérer le graphique du y=sin de sinus (x). La série de Maclaurin pour le sinus est Σ (0 ; infini ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !) . Comparons le graphique du sinus aux graphiques des polynômes de Maclaurin de degré différent pour le sinus. En termes de calculatrice de graphique 2D numérique le polynôme de Maclauren pour le sinus est Σ (0 ; degré ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !). Même le polynôme du degré zéro, celui est y=x, est une bonne approximation près de l'origine.

Σ (0 ; 0 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

Est ensuite le polynôme de Maclaurin du premier degré :

Σ (0 ; 1 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

Est ensuite le polynôme de Maclaurin du deuxième degré :

Σ (0 ; 2 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

Est ensuite le polynôme de Maclaurin du troisième degré :

Σ (0 ; 3 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

Est ensuite le polynôme de Maclaurin du quatrième degré :

Σ (0 ; 4 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

 

Maintenant le picuture général devient clair. Accélérons et branchons au polynôme de Maclaurin du dixième degré :

Σ (0 ; 10 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

Est ensuite le polynôme de Maclaurin du vingtième degré :

Σ (0 ; 20 ; (- ^k*x^ de 1) (2k+1)/(2k+1) !)

Il est clair que nous puissions trouver le polynôme de Maclaurin du degré suffisamment grand pour n'importe quel X. Ainsi nous pouvons rapprocher le sin(x) sur l'intervalle de toute longueur autour de l'origine calculant le polynôme de Maclaurin du degré suffisamment grand. Les bruits bons sauf que le calcul du polynôme de Maclaurin du vingtième degré étaient notamment plus longtemps que le calcul du polynôme de Maclaurin du quatrième degré. Nous savons cela qui ajoute un nombre n à x dans la formule du graphique de décalages de fonction vers la gauche par des unités de n. Également la soustraction d'un nombre n à x dans la formule de la fonction décale le graphique vers la droite par des unités de n. Laisse l'essai Σ (0 ; 4 ; (- ^ du ^k* de 1) (x-5) (2k+1)/(2k+1) !) :

Décalage faux

Nous voyons que le polynôme n'est plus une bonne approximation de sinus. Quel est erroné ? Remplaçant x par x-5 nous transformons le polynôme de Maclaurin en polynôme de Taylor. Mais en polynôme de Taylor pour le sinus à 5 le coefficient au membre du nième degré n'est pas simplement (- ^n de 1), ce qui alterne le sinus et cosinus à zéro, mais sinus et cosinus alternatifs à 5. Pour remédier à des situations nous a laissés décaler par multiple de 2π. Alors les coefficients sont de nouveau (- 1) décalage de ^n. par 2π vers la gauche :

Polynôme de Taylor à -2pi

Décaler par 2π vers la droite :

Polynôme de Taylor à 2pi

Ainsi pour une bonne approximation nous trouvons d'abord le plus près le multiple donné de x de 2π. Calculer alors le polynôme correspondant de Taylor avec un certain degré (pas très élevé). De l'image ci-dessous nous pouvons voir que même en avant le degré donne l'approximation non mauvaise :

Degré de polynôme de Taylor quatrième 

 

© Tvalx 2008

Logo de Tvalx