Fonctions inverses. Étude complète de concept.

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Dans l'article explorant des fonctions inverses nous avons fait la première approche au sujet évitant la définition formelle de la fonction inverse. Étudions complètement le concept de la fonction inverse.

De point de vue placer-théorique une fonction est un ensemble de paires commandées. Par exemple, y=2x est {(x, 2*x) | X ϵ R}. Prendre n'importe quelle fonction linéaire f = {(x, y) | X ϵ D, y=f (x)}, où f dénote la fonction comme ensemble de paires commandées et en règle générale de calculer y pour le X. donné. Le domaine de f est D et l'intervalle est R. Considérer l'ensemble de paires commandées g = {(y, x) | X ϵ D, y=f (x)}. Ainsi, nous avons commuté x et Y. G est-il une fonction ? Puisque f est linéaire, oui, g est une fonction. Pour chaque y donné nous prenons exactement un X. correspondant. Les lettres X et y sont juste les parenthèses courbées par intérieur utilisées par symboles. Si nous sauvons g = {(a, b) | X le ϵ D, a=f (b)}, la logique ne change pas. Ainsi nous pouvons sauver g = {(x, y) | le ϵ D, x=f de y (y)} pour suivre la convention que l'argument est dénoté par x et valeur est dénoté par le Y. Ainsi nous pouvons formuler une définition :

Définition 1.

Laisser f = {(x, y) | X le ϵ D, y=f (x)} soit une fonction linéaire. Puis g = {(x, y) | le ϵ D, x=f de y (y)} s'appelle la fonction inverse pour le F.

 

Par convention une fonction inverse de f est dénotée par f -1. Ainsi g = f -1.

Il est possible de fournir des preuves placer-théoriques strictes qu'il y a exactement une fonction inverse pour le F. donné. Recevons-le comme évident.

Noter que si g est la fonction inverse pour f puis f est la fonction inverse pour le G. En effet, f = {(x, y) | X ϵ D, y=f (x)} = {(x, y) | ϵ R, x=g de y (y)}. Ainsi les rôles logiques de f et de g sont symétriques. Ni f ni g n'ont n'importe quelle préférence au-dessus de l'un l'autre. Ainsi nous pouvons dire que pour n'importe quelle fonction linéaire il y a exactement une paires de fonctions mutuellement inverses. En effet, x de changement et résultats de y dans le changement entre deux fonctions. Appelons-le une paire de fonctions mutuellement inverses.

Parmi des fonctions standard nous avons des paires suivantes de fonctions mutuellement inverses :  (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Nous pouvons également construire des paires plus insignifiantes avec des fonctions mutuellement inverses : (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Pendant une telle construction que nous « résolvons » la fonction initiale pour le Y. par exemple, y = 1 + 2x est résolu pour y : X =) (de y -1/2. Ainsi nous obtenons une paire de fonctions mutuellement inverses (1 + 2x, (x - 1) /2). Nous devrions utiliser une telle « solution » soigneusement, puisque cela fonctionne seulement pour des fonctions linéaires (des fonctions linéaires s'appellent les bijections dans la théorie des ensembles).

Nous avions l'habitude de penser à l'arcsinus en tant que fonction inverse de sinus. N'est-il pas ? Dans le sens de la définition 1 que la réponse est arcsinus de numéro est un bijection et a une fonction inverse, celle est une restriction de sinus à l'intervalle [- π/2, π/2]. Ainsi l'arcsinus et la restriction du sinus à l'intervalle [- π/2, π/2] forment une paire de fonctions inverses. Nous pourrions appeler le sinus et l'arcsinus par paires conventionnelles de fonctions inverses. Un autre exemple des paires conventionnelles de fonctions inverses est une paire de racine carrée et carrée de x de X. Mais nous devrions nous rappeler que les faits, qui sont vrais pour des paires de fonctions inverses, ne sont pas nécessairement vrais pour des paires conventionnelles de fonctions inverses.

 

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