Arrangement l'explorant de quadrature de Tanh-Sinh

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L'arrangement de quadrature de tanh-sinh était a été développé par Takasi et Mori : Takahasi, Hidetosi ; Mori, Masatake (1974), « doubles formules exponentielles pour l'intégration numérique », publications de l'institut de recherche pour les sciences mathématiques 9 (3) : 721-741

La dernière publication :  David H. Bailey, Karthik Jeyabalan, et Xiaoye S. Li, « une comparaison d'arrangement à haute précision de la quadrature trois ». Mathématiques expérimentales, 14.3 (2005).

Nous avons fait notre propre recherche avec l'aide de la précision 90 de calculatrice de quadrature.

L'arrangement a fonctionné très bien pour la grande variété de fonctions douces. Même pour des fonctions avec les dérivés croissants à l'extrémité se dirige.

L'arrangement pour converger avec la fonction gamma.

Une fonction spéciale a été construite pour prouver que l'arrangement donne parfois la mauvaise réponse. À savoir f (x) = (sin(8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. L'arrangement donne le résultat de près de zéro. Il était prévisible parce que les fonctions a des valeurs zéro aux points où l'arrangement calcule au niveau 1 et 2. Mais l'intégrale réelle n'est pas étroitement à zéro. Voir le son graphique :

Exemple de compteur de quadrature de Tanh-Sinh

 

Dans la publication « Tanh-Sinhn quadrature à haute précision » David H. Bailey1 le 19 janvier 2006, David Bailey donne le h* d'évaluation des erreurs (h (2π))^2*Σ (- n ; n ; f '' (k*h)). David Bailey le considère comme « fortement précis ». Dans l'expérience nous avons passé cette formule 4.2E-5 pour cos(x) en fonction [- 1, 1] à niveau 5 avec chiffres réels et incertitude correspondante 5.0E-15 d'exactitude 15. Au niveau 6 ce serait 1E-5 et au niveau 7 (exactitude réelle plus de 90 chiffres) ce serait 2.5E-6. En effet, h*Σ (- n ; n ; f '') (de k*h)/(2π) ^2 ne change pas de manière significative et h^2 est divisé par 4 à chaque niveau. Une telle évaluation est loin d'être « fortement précise ».

Conclusion. L'arrangement de quadrature de tanh-sinh converge rapidement et exactement pour la grande variété de fonctions à peu d'exceptions. Il n'y a aucun procédé universel pratique d'évaluation des erreurs. Quand l'algorithme converge « normalement », la différence entre les sommes de niveaux est une évaluation pratique des erreurs.

 

 

 

 

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