Erforschende umgekehrte Funktionen

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Es gibt keine kurze formale Definition der umgekehrten Funktionen. Hier versuchen wir, formale Definition zu vermeiden und umgekehrte Funktionen zu beschreiben, um Leser zum Konzept vorzustellen. Uns Funktion y = 2^x, using Hochzeichen betrachten lassen y = 2x:

y = 2^x

Wenn x=0, y=2^0=1. Wenn x=1, y=2^1=2. Wenn x=2, y=2^2=4. Lassen jetzt bitten: für welches x-y=1? Antwort: für x=0. Für welches x-y=2? Für x=1. Für welches x-y=4? Für x=2. So für jeden möglichen gegebenen Wert von y haben wir genau entsprechen ein X. Dieses stellt die Definition der Funktion zufrieden. So haben wir eine Funktion, in der y Argument ist und x ein Wert ist und wo das Gebiet ist, Strecke y=2^x und Strecke Gebiet von y=2^x. ist. Durch Aufbau unsere Funktion für das gegebene Argument Rückkehr reale Zahl b sodass a=2^b. Dieses ist eine Definition des Logarithmus mit Unterseite 2. Darstellung b=log2a oder x=log2y. Da durch Versammlung Argument durch x und Wert durch y bezeichnet wird, müssen wir x und Y. schalten. So erhalten wir y=log2x. Diese Funktion ist durch Aufbau die umgekehrte Funktion von y = 2x. Beachten, dass Diagramm für y = 2x und Diagramm für x=log2y übereinstimmen. Aber, wenn wir Rollen von x und von y schalten, wird das Diagramm in Bezug auf die Hauptdiagonale des beigeordneten Systems reflektiert. So ist Diagramm von y=log2x zum Diagramm von y = 2x in Bezug auf die Hauptdiagonale symmetrisch:

y = 2^x und y = Protokoll (x) Unterseite 2

Y=sin jetzt betrachten (x). Uns eine umgekehrte Funktion für Sinus aufbauen lassen. So denn gegebener Wert von y möchten wir x finden sodass y=sin (x). Uns solche umgekehrte Funktion durch G. bezeichnen lassen. So x=g (y). Rollen von x und von Y. jetzt schalten. Wir erhalten y=g (x). Wir nun da Diagramm von y=g (x) symmetrisch zum Diagramm von y=sin (x) in Bezug auf die Hauptdiagonale. Wir können solche Abbildung using den grafisch darstellenrechner 2D aufbauen, der von Mathe-Mitte-Stufe 2 parametrisch ist:

x=tau, y=sin (tau) und x=sin (tau), y=tau

Wir sehen dass das Diagramm von g (x) wird nicht Anforderung für Funktionen gerecht, die für gegebenes x dort genau ein entsprechendes Y. ist. So was wir aufbauten, ist nicht eine Funktion. Wohin gingen Sachen falsch? Der Unterschied zwischen y = 2x und y=sin (x) ist, dass das erste eins-zu-eins Funktion ist und die Sekunde nicht ist. Wir können umgekehrte Funktion für y=sin nicht aufbauen (x) auf der gleichen Methode wie für y = 2x. Sortieren, das Hilfsmittel der Situation ist, Gebiet der Sünde zu verengen (x) wo es auf-zu-ein ist. Wir können jeden möglichen Abstand von Länge π wählen, aber Vereinbarung ist, nahe dem Ursprung, von - π/2 zu π/2. zu wählen. Auf solcher Gebietssin(x) ist eins-zu-eins. Jetzt können wir umgekehrte Funktion g aufbauen (x) für solches „begrenzte“ sin(x):

y=sin (x) und y=asin (x) auf [- pi/2, pi/2]

Die grüne Zeile ist Diagramm des verengten Sinus und die blaue Zeile ist umgekehrte Funktion von Sinus. Im rechten Fenster können wir sehen, dass nahe Ursprung, den beide Funktionen zur Hauptdiagonale y=x. historisch die umgekehrte Funktion von Sinus Arcsine genannt wurde, das sind, der Bogen (Winkel) entsprechend gegebenem Wert von Sinus nah ist. Das Gebiet von Arkussinus ist Abstand [- 1, 1] und die Strecke ist [- π/2, π/2].

Ähnlich bauen wir Arkuskosinus für Kosinus mit Gebiet [- 1, 1] und Strecke auf [0, π]. Die purpurrote Zeile ist Diagramm von Kosinus und die gelbe Zeile ist Diagramm von Arkuskosinus.

y=cos (x) und y=acos (x) auf [0, PUs]

Ähnlich bauen wir Arkustangens mit Gebiet die gesamte reale Zeile und die Strecke auf (- π/2, π/2).

y=atan (x)

Ähnlich bauen wir Arccotangent mit dem Gebiet auf, das aus zwei Abständen besteht (- Unbegrenztheit, 0), (0, Unbegrenztheit) und die Strecke, die aus zwei Abständen besteht [- π/2, 0), (0, π/2]. Beachten, dass null nicht in der Strecke ist. In der Tat an Bogen null ist Sinus null. Seit ctg (x)=cos(x)/sin (x), ctg (0) würde Lattich (0) /sin (0) =1/0 sein, was unmöglich ist. Das grüne Diagramm von Arccotangent ist eine Reflexion der zentralen Rolle des blauen Diagramms von Cotangent in Bezug auf Hauptdiagonale. Obgleich gelassenes (grobes) Fenster darstellt, dass grüne vertikale Zeile (Beschränkung der Programmierung) das rechte (feineres) Fenster zeigt, dass Arccotangent nicht, bei null zu definieren ist.

y=actg (x) und y=ctg (x)

Nach umgekehrten trigonometrischen Funktionen des Gebäudes ist die Aufgabe der umgekehrten Funktion des Gebäudes von y=x^3 einfach. Offensichtlich ist dieses dritte Wurzel von x oder das gleiche y=x^ (1/3):

y=x^3 und y=x^ (1/3)

Y=x^2. betrachten. Wieder ist dieses nicht eins-zu-eins Funktion und wir verengen Gebiet von y=x^2 zum Abstand [0, Unbegrenztheit), wo y=x^2 eins-zu-eins ist. Offensichtlich ist die umgekehrte Funktion von y=x^2 Quadratwurzel von x, y=x^ (1/2):

y=x^2 und x=^ (1/2)

Beachten, dass wir erlernen, umgekehrte Funktion für jede mögliche Funktion aufzubauen. Wir bilden Funktionen zu den Funktionen ähnlich dem Abbilden von Zahlen zu den Zahlen ab. Das Abbilden von Funktionen zu den Funktionen wird Operator genannt. So wenden wir Operator der umgekehrten Funktion an einer Funktion f an (x) und erhalten umgekehrte Funktion g (x). Solcher g (x) ist bezeichnetes f ^-1 (x). Schaut f ähnlich (x) in der Energie minus ein. Zusammenhang verwenden, um zu unterscheiden. So anstelle vom Arkussinus, vom Arkuskosinus, vom Arkustangens und von Arccotangent können wir sin-1, cos-1, tan-1, ctg-1 schreiben. Beachten dass umgekehrte Funktion der umgekehrten Funktion ist die ursprüngliche Funktion, die ist (f ^-1 (x)) ^{- 1=f} (x). Auch beachten, dass f (f ^-1 (x)) =x auf Gebiet von f ^-1 (x) aber f ^-1 (f (x)) ist nicht notwendigerweise x auf Gebiet von f (x). Was ist der Trick? Der Unterschied ist im Gebiet (und in der Strecke). Das Gebiet von f (f ^-1 (x)) ist Gebiet von f ^-1 (x), das ist Strecke f (x) und des Gebietes von f ^-1 (f (x)) ist Gebiet von f (x). Das Diagramm von f (f ^-1 (x)) ist immer ein Teil der Hauptdiagonale. Das Diagramm von f ^-1 (f (x)) kann mit Hauptdiagonale nur am Ursprung übereinstimmen (manchmal mit gesamter Hauptdiagonale). Unter sind Beispiele.