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Im Artikel, der umgekehrte Funktionen bildeten wir erforscht, erste Annäherung zum Thema, das formale Definition der umgekehrten Funktion vermeidet. Uns das Konzept der umgekehrten Funktion gänzlich studieren lassen.
Vom einstellen-theoretischen Gesichtspunkt ist eine Funktion ein Set bestellte Paare. Z.B. ist y=2x {(x, 2*x) | x ϵ R}. Jede eins-zu-eins Funktion nehmen f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)}, wo f die Funktion als Set bestellte Paare und als Regel des Berechnens von y für gegebenes X. bezeichnet. Das Gebiet von f ist D und die Strecke ist R. Set bestellte Paare betrachten g = {(y, x) | x ϵ D, y=f (x)}. So schielten wir x und Y. Ist g eine Funktion? Da f ja eins-zu-eins ist ist g eine Funktion. Für jedes gegebene y haben wir genau ein entsprechendes X. Die Zeichen x und y sind gerade Symbole benutzte Innere gekräuselte Haltewinkel. Wenn wir g = schreiben {(a, B) | x ϵ D, a=f (B)}, die Logik ändert nicht. So können wir schreiben g = {(x, y) | y ϵ D, das x=f (y)} zum von Versammlung zu folgen, dass Argument durch x und Wert bezeichnet wird, wird durch Y. bezeichnet. So können wir eine Definition formulieren:
Definition 1.
Lassen f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} ist eine eins-zu-eins Funktion. Dann g = {(x, y) | y ϵ D, x=f (y)} wird umgekehrte Funktion für F. genannt.
Durch Versammlung wird eine umgekehrte Funktion von f durch f -1 bezeichnet. So g = f -1.
Es ist möglich, einen strengen einstellen-theoretischen Beweis zu geben, dass es genau eine umgekehrte Funktion für gegebenes F. gibt. Uns es annehmen lassen, wie offensichtlich.
Beachten, dass, wenn g die umgekehrte Funktion für f dann ist, f die umgekehrte Funktion für G. ist. In der Tat f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} = {(x, y) | y ϵ R, x=g (y)}. So sind die logischen Rollen von f und von g symmetrisch. Weder haben f noch g jede mögliche Präferenz über einander. So können wir sagen, dass für jede eins-zu-eins Funktion es genau eine Paare der gegenseitig umgekehrten Funktionen gibt. In der Tat zugeschaltetes x und y-Resultate beim Schalten zwischen zwei Funktionen. Uns es nennen lassen ein Paar gegenseitig umgekehrte Funktionen.
Unter Standardfunktionen haben wir folgende Paare der gegenseitig umgekehrten Funktionen: (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Wir können trivialere Paare aus gegenseitig umgekehrten Funktionen auch konstruieren: (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Während solchen Aufbaus, den wir ursprüngliche Funktion für Y. zum Beispiel, y = 1 + 2x „lösen“, wird für y gelöst: x =) (y -1/2. So erhalten wir ein Paar gegenseitig umgekehrte Funktionen (1 + 2x, (x - 1) /2). Wir sollten solche „Lösung“ sorgfältig benutzen, da es nur für eins-zu-eins Funktionen funktioniert (eins-zu-eins Funktionen werden bijections in Mengenlehre genannt).
Wir pflegten, um an Arkussinus als umgekehrte Funktion von Sinus zu denken. Ist er nicht? In der Richtung von Definition 1, welches die Antwort Nr.-Arkussinus ist, ist ein bijection und hat eine umgekehrte Funktion, die ist eine Beschränkung von Sinus zum Abstand [- π/2, π/2]. So Arkussinus und Beschränkung von Sinus zum Abstand [- π/2, π/2] bilden ein Paar umgekehrte Funktionen. Wir könnten Sinus und Arkussinus ein herkömmliche Paare der umgekehrten Funktionen benennen. Ein anderes Beispiel der herkömmlichen Paare der umgekehrten Funktionen ist ein Paar der x-quadrierten und Quadratwurzel von X. Aber wir sollten uns daran erinnern, dass Tatsachen, die für Paare der umgekehrten Funktionen zutreffend sind, nicht notwendigerweise für herkömmliche Paare der umgekehrten Funktionen zutreffend sind.
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