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Der tanh-sinh Quadraturentwurf war sich entwickelte durch Takasi und Mori: Takahasi, Hidetosi; Mori, Masatake (1974), „doppelte exponentiale Formeln für numerische Integration“, Publikationen des Forschungsinstituts für mathematische Wissenschaften 9 (3): 721-741
Die späteste Publikation: David H. Bailey, Karthik Jeyabalan und Xiaoye S. Li, „ein Vergleich des high-precision Entwurfs der Quadratur drei“. Experimentelle Mathematik, 14.3 (2005).
Wir haben unsere eigene Forschung mithilfe von Quadratur-Rechner-Präzision 90 getan.
Der Entwurf arbeitete sehr gut für große Vielzahl der glatten Funktionen. Sogar für Funktionen mit wachsenden Ableitungen am Ende zeigt.
Der Entwurf mit Gamma-Funktion zusammenlaufen nicht können.
Eine spezielle Funktion wurde konstruiert, um zu zeigen, dass der Entwurf manchmal falsch Antwort gibt. Nämlich f (x) = (sin(8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. Der Entwurf gibt Resultat nah an null. Er war vorhersagbar, weil die Funktionen nullwert an den Punkten hat, in denen der Entwurf auf Niveau 1 und 2. berechnet. Aber das tatsächliche Integral ist nicht nah bis null. Sein Diagramm sehen:
Gibt Publikation „Tanh-Sinhn High-Precision Quadratur“ David H. Bailey1 im 19. Januar 2006 David Bailey Fehlerschätzung h* (h (2π))^2*Σ (- n; n; f '' (k*h)). David Bailey hält es für „in hohem Grade genau“. Im Experiment erhielten wir vorbei diese Formel 4.2E-5 für Lattich (x) an [- 1, 1] auf Niveau 5 mit tatsächlichen Digits und entsprechender Ungewissheit 5.0E-15 der Genauigkeit 15. Auf Niveau 6 würde es 1E-5 sein und auf Niveau 7 (tatsächliche Genauigkeit mehr als 90 Digits) würde es 2.5E-6 sein. In der Tat h*Σ (- n; n; f '' (k*h))/(2π) ändert ^2 nicht erheblich und h^2 wird durch 4 auf jedem Niveau geteilt. Solche Schätzung ist weit von Sein „in hohem Grade genau“.
Zusammenfassung. Der tanh-sinh Quadraturentwurf läuft schnell und genau für große Vielzahl von Funktionen mit wenigen Ausnahmen zusammen. Es gibt keine praktische Universalfehlerschätzungprozedur. Wenn der Algorithmus „normalerweise“ zusammenläuft, ist der Unterschied zwischen Stufensummen eine praktische Fehlerschätzung.
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