Funzioni inverse d'esplorazione

Software matematico. Ricerca matematica. Formazione matematica. Prodotti di Tvalx.

 

Non ci è la breve definizione convenzionale delle funzioni inverse. Qui proviamo ad evitare la definizione convenzionale ed a descrivere le funzioni inverse per presentare il lettore al concetto. Consideriamo la funzione y = 2^x, using l'apice y = 2x:

 

y = 2^x

Quando x=0, y=2^0=1. Quando x=1, y=2^1=2. Quando x=2, y=2^2=4. Ora lasciano per chiedere: per che =1 di x-y? Risposta: per x=0. Per che =2 di x-y? Per x=1. Per che =4 di x-y? Per x=2.  Così per tutto il valore dato di y abbiamo corrispondenza esattamente un X. Ciò soddisfa la definizione della funzione. Così, abbiamo una funzione dove y è argomento e la x è un valore e dove il settore è intervallo di y=2^x ed intervallo è settore di y=2^x. Tramite costruzione la nostra funzione per l'argomento dato ritorni numero reale b tali che a=2^b. Ciò è una definizione del logaritmo con la numerazione b=log2a o x=log2y della base 2. Poiché dalla convenzione l'argomento è denotato dalla x e dal valore da y, dobbiamo passare la x ed il Y. Così otteniamo y=log2x. Questa funzione è tramite costruzione la funzione inversa di y = 2x. Si noti che il grafico per y = 2x ed il grafico per x=log2y coincidono. Ma quando passiamo i ruoli della x e di y, il grafico è riflesso riguardo alla diagonale principale del sistema coordinato. Così il grafico di y=log2x è simmetrico al grafico di y = 2x riguardo alla diagonale principale:

y = 2^x e y = libro macchina (x) base 2

Ora considerare il y=sin (x). Sviluppiamo una funzione inversa per il seno. Così, dato che il valore dato di y vogliamo trovare la x tali che y=sin (x). Denotiamo tale funzione inversa dal G. Così, x=g (y). Ora passare i ruoli della x e del Y. Otteniamo il y=g (x). Noi ora che grafico di y=g (x) simmetrico al grafico del y=sin (x) riguardo alla diagonale principale. Possiamo sviluppare tale maschera using il calcolatore rappresentante graficamente 2D parametrico dal Livello 2 del centro di per la matematica:

x=tau, y=sin (tau) e x=sin (tau), y=tau

Vediamo che il grafico del g (x) non risponde all'esigenza delle funzioni che per la x data là sia esattamente un Y. corrispondente. Così, che cosa abbiamo costruito non è una funzione. Dove le cose sono andato male? La differenza fra y = 2x e y=sin (x) è che il primo è funzione di valore univoco ed il secondo non è. Non possiamo sviluppare la funzione inversa per il y=sin (x) sullo stesso modo di per y = 2x. Il rimedio della situazione è di limitare il settore del sin(x) graduare a dove secondo la misur'è su--un. Possiamo scegliere tutto l'intervallo del π di lunghezza ma la convenzione è di scegliere vicino all'origine, - da π/2 a π/2. Su tale peccato di settore (x) è di valore univoco. Ora possiamo sviluppare la funzione inversa g (x) per il tale “ha limitato„ il sin(x):

y=sin (x) e y=asin (x) su [- pi/2, pi/2]

La Linea Verde è grafico del seno limitato e la riga blu è funzione inversa del seno. Nella finestra di destra possiamo vedere che vicino all'origine che entrambe le funzioni sono vicino alla diagonale principale y=x. storicamente la funzione inversa del seno è stata chiamata Arcsine, quello è l'arco (angolo) che corrisponde al valore dato del seno. Il settore dell'arcaseno è intervallo [- 1, 1] e l'intervallo è [- π/2, π/2].

Sviluppiamo similmente il Arccosine per il coseno con il settore [- 1, 1] e l'intervallo [0, π]. La riga viola è grafico del coseno e la riga gialla è grafico di Arccosine.

y=cos (x) e y=acos (x) su [0, pi]

Sviluppiamo similmente il Arctangent con il settore l'interi riga ed intervallo reali (- π/2, π/2).

y=atan (x)

Sviluppiamo similmente Arccotangent con il settore che consiste di due intervalli (- infinità, 0), (0, infinità) e l'intervallo che consiste di due intervalli [- π/2, 0), (0, π/2]. Si noti che zero non è nell'intervallo. Effettivamente, all'arco zero il seno è zero. Da ctg (x)=cos(x)/sin (x), il ctg (0) sarebbe cos(0) /sin (0) =1/0 che cosa è impossibile. Il grafico verde di Arccotangent è una riflessione del ruolo centrale del grafico blu del Cotangent riguardo alla diagonale principale. Anche se la finestra (di massima) lasciata mostra che riga verticale verde (limitazione di programmazione) il di destra la finestra (più fine) indica che Arccotangent non è di definire a zero.

y=actg (x) e y=ctg (x)

Dopo le funzioni trigonometriche inverse della costruzione l'operazione della funzione inversa della costruzione di y=x^3 è facile. Questo è ovviamente terza radice della x, o lo stesso y=x^ (1/3):

y=x^3 e y=x^ (1/3)

Considerare y=x^2. Questa non è ancora funzione di valore univoco e limitiamo il settore di y=x^2 all'intervallo [0, infinità), dove y=x^2 è di valore univoco. La funzione inversa di y=x^2 è ovviamente radice quadrata della x, il y=x^ (1/2):

y=x^2 e x=^ (1/2)

Si noti che impariamo sviluppare la funzione inversa per tutta la funzione. Tracciamo similmente le funzioni alle funzioni a tracciare i numeri ai numeri. Il tracciato delle funzioni alle funzioni è chiamato operatore. Così applichiamo l'operatore di funzione inversa ad una funzione f (x) ed ottiene la funzione inversa il g (x). Tale g (x) è f denotata -1 (x). Osserva simile alla f (x) nell'potenza meno una. Usare il contesto per distinguere. Così anziché l'arcaseno, il Arccosine, il Arctangent e Arccotangent possiamo scrivere sin-1, cos-1, tan-1, ctg-1. Si noti che funzione inversa della funzione inversa è la funzione originale, quella è (f -1 (x)) - 1=f (x). Egualmente notare che f (=x di f -1 (x)) sul settore della f -1 (x) ma f -1 (f (x)) non è necessariamente x sul settore della f (x). Che cosa è il trucco? La differenza è nel settore (e nell'intervallo). Il settore della f (f -1 (x)) è settore della f -1 (x), quello è intervallo della f (x) e del settore della f -1 (f (x)) è settore della f (x).  Il grafico della f (f -1 (x)) è sempre una parte della diagonale principale. Il grafico della f -1 (f (x)) può coincidere con la diagonale principale soltanto all'origine (a volte con l'intera diagonale principale). Sotto sono gli esempi.

y= (x^2)^ (1/2)

y= (x^2)^ (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (peccato (x))

Lo stesso grafico del arcsin (sin(x)) ha ^floor di funzione (- 1) (1/2 - x/π) * (x+π*floor (1/2-x/π)).

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (cos (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (tan (x))

y=arctan (tan (x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

© Tvalx 2008

Marchio di Tvalx