Polinomi di Taylor e Maclaurin

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Come sappiamo, i funzionamenti di calcolatore interni sono funzionamenti binari abbastanza primitivi. Non possiamo prevedere che ci siano codici di macchina per le espressioni di calcolo come il sin(1/4). È mansioni per programmatore. Naturalmente, il polinomio di Taylor e di Maclaurin dovrebbe essere coinvolto qui come ponticello fra i funzionamenti aritmetici e le funzioni regolari. Esploriamo le possibilità delle serie di Taylor e di Maclaurin con guida del calcolatore rappresentante graficamente 2D numerico dal Livello 2. del centro di per la matematica.

Considerare il grafico del y=sin di seno (x). La serie di Maclaurin per il seno è Σ (0; infinità; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!) . Paragoniamo il grafico del seno ai grafici dei polinomi di Maclaurin del grado differente per il seno. In termini di calcolatore rappresentante graficamente 2D numerico il polinomio di Maclauren per il seno è Σ (0; grado; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!). Anche il polinomio del grado zero, quello è y=x, è una buona approssimazione vicino all'origine.

Σ (0; 0; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

Dopo sarà il polinomio di Maclaurin del primo grado:

Σ (0; 1; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

Dopo sarà il polinomio di Maclaurin del secondo grado:

Σ (0; 2; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

Dopo sarà il polinomio di Maclaurin del terzo grado:

Σ (0; 3; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

Dopo sarà il polinomio di Maclaurin del quarto grado:

Σ (0; 4; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

 

Ora il picuture generale diventa chiaro. Acceleriamo e saltiamo al polinomio di Maclaurin del decimo grado:

Σ (0; 10; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

Dopo sarà il polinomio di Maclaurin del ventesimo grado:

Σ (0; 20; (- ^k*x^ di 1) (2k+1)/(2k+1)!)

È chiaro che possiamo trovare il polinomio di Maclaurin di grado sufficiente grande per tutto il X. Così possiamo approssimarci al sin(x) sull'intervallo di qualsiasi lunghezza intorno all'origine che calcola polinomio di Maclaurin di grado sufficiente grande. I suoni buoni salvo che il calcolo del polinomio di Maclaurin del ventesimo grado erano considerevolmente più lungamente del calcolo del polinomio di Maclaurin del quarto grado. Conosciamo quello che aggiunge un numero n - x nella formula del grafico degli spostamenti di funzione il a sinistra dalle unità di n. Corrispondentemente sottrarre un numero n - x nella formula della funzione sposta il grafico alla destra dalle unità di n. Lascia la prova Σ (0; 4; (- ^ del ^k* di 1) (x-5) (2k+1)/(2k+1)!) :

Spostamento errato

Vediamo che il polinomio non sarà una buona approssimazione del seno più. Che cosa è errato? Sostituendo la x da x-5 trasformiamo il polinomio di Maclaurin il polinomio di Taylor. Ma nel polinomio di Taylor per il seno a 5 il coefficente al membro dell'ennesimo grado non è appena (- ^n di 1), che cosa sta alternando il seno e coseno a zero, ma seno e coseno alternanti a 5. Per rimediare alle situazioni li ha lasciati spostarsi dal multiplo di 2π. Allora i coefficenti sono ancora (- 1) spostamento di ^n. da 2π il a sinistra:

Polinomio di Taylor a -2pi

Spostar da 2π alla destra:

Polinomio di Taylor a 2pi

Così per una buona approssimazione in primo luogo troviamo il più vicino il multiplo dato di x di 2π. Allora calcolare il polinomio corrispondente di Taylor con un certo (non molto alto) grado. Dalla maschera qui sotto possiamo vedere che persino avanti il grado dà l'approssimazione non difettosa:

Grado di polinomio di Taylor quarto 

 

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