Funzioni inverse. Studio completo sul concetto.

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Nell'articolo che esplora le funzioni inverse abbiamo fatto il primo metodo al soggetto che evita la definizione convenzionale della funzione inversa. Studiamo completamente il concetto della funzione inversa.

Dal punto di vista impostare-teorico una funzione è un insieme degli accoppiamenti ordinati. Per esempio, y=2x è {(x, 2*x) | x ϵ R}. Prendere tutta la funzione di valore univoco f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)}, dove la f denota la funzione come insieme degli accoppiamenti ordinati ed in generale di computazione del y per il X. dato. Il settore della f è D e l'intervallo è R. Considerare l'insieme degli accoppiamenti ordinati g = {(y, x) | x ϵ D, y=f (x)}. Così, abbiamo passato la x ed il Y. È il g una funzione? Poiché la f è di valore univoco, sì, il g è una funzione. Per ogni y dato abbiamo esattamente un X. corrispondente. Le lettere x e y sono appena parentesi arricciate parte interna utilizzate simboli. Se scriviamo g = {(a, b) | x il ϵ la D, a=f (b)}, la logica non cambia. Così possiamo scrivere g = {(x, y) | il ϵ la D, x=f di y (y)} per seguire la convenzione che l'argomento è denotato dalla x e dal valore è denotato dal Y. Così possiamo formulare una definizione:

Definizione 1.

Lasciare f = {(x, y) | x il ϵ la D, y=f (x)} è una funzione di valore univoco. Allora g = {(x, y) | il ϵ la D, x=f di y (y)} è chiamato funzione inversa per il F.

 

Dalla convenzione una funzione inversa della f è denotata dalla f -1. Così g = f -1.

È possibile dare una prova impostare-teorica rigorosa che ci è esattamente una funzione inversa per il F. dato. Accettiamolo come evidente.

Si noti che se il g è la funzione inversa per la f allora la f è la funzione inversa per il G. Effettivamente, f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} = {(x, y) | ϵ R, x=g di y (y)}. Così i ruoli logici della f e del g sono simmetrici. Nè la f nè il g gli ha tutta la preferenza sopra. Così possiamo dire che per tutta la funzione di valore univoco ci sono esattamente un accoppiamento delle funzioni reciprocamente inverse. Effettivamente, x di commutazione e risultati di y nella commutazione fra due funzioni. Chiamiamolo un accoppiamento delle funzioni reciprocamente inverse.

Fra le funzioni standard abbiamo seguenti accoppiamenti delle funzioni reciprocamente inverse:  (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Possiamo anche costruire gli accoppiamenti più insignificanti con funzioni reciprocamente inverse: (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Durante la tale costruzione che “risolviamo„ la funzione originale per il Y. per esempio, y = 1 + 2x è risolto per y: x = ()/2. di y -1. Così otteniamo un accoppiamento delle funzioni reciprocamente inverse (1 + 2x, (x - 1) /2). Dovremmo usare con attenzione tale “soluzione„, poiché funziona soltanto per le funzioni di valore univoco (le funzioni di valore univoco sono chiamate bijections nella teoria degli insiemi).

Abbiamo usato per pensare all'arcaseno come funzione inversa del seno. Non è? Nel senso della definizione 1 che la risposta è arcaseno di no. è un bijection ed ha una funzione inversa, quella è una limitazione del seno all'intervallo [- π/2, π/2]. Così l'arcaseno e la limitazione del seno all'intervallo [- π/2, π/2] formano un accoppiamento delle funzioni inverse. Potremmo chiamare il seno e l'arcaseno un gli accoppiamenti convenzionali delle funzioni inverse. Un altro esempio degli accoppiamenti convenzionali delle funzioni inverse è un accoppiamento della radice quadrata e quadrata di x del X. Ma dovremmo ricordarci che i fatti, che sono allineare per gli accoppiamenti delle funzioni inverse, non sono necessariamente allineare per gli accoppiamenti convenzionali delle funzioni inverse.

 

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