Schema d'esplorazione di quadratura di Tanh-Sinh

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Lo schema di quadratura del tanh-sinh era è stato diventato da Takasi e da Mori: Takahasi, Hidetosi; Mori, Masatake (1974), “doppie formule esponenziali per integrazione numerica„, pubblicazioni dell'istituto di ricerca per le scienze matematiche 9 (3): 721-741

L'ultima pubblicazione:  David H. Bailey, Karthik Jeyabalan e Xiaoye S. Li, “un confronto dello schema di alta precisione di quadratura tre„. Matematica sperimentale, 14.3 (2005).

Abbiamo effettuato la nostra propria ricerca con guida di precisione 90 del calcolatore di quadratura.

Lo schema ha funzionato molto bene per grande varietà di funzioni regolari. Anche per le funzioni con i crescenti derivati all'estremità indica.

Lo schema non riuscito per convergere con la funzione Gamma.

Una funzione speciale è stata costruita per indicare che lo schema a volte dà la risposta sbagliata. Vale a dire f (x) = (sin(8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. Lo schema fornisce risultato vicino a zero. Era prevedibile perché le funzioni ha valore zero ai punti in cui lo schema calcola ai Livelli 1 e 2. Ma l'integrale reale non è vicino a zero. Vedere il relativo grafico:

Esempio del contatore di quadratura di Tanh-Sinh

 

La pubblicazione “Tanh-Sinhn quadratura di alta precisione„ David H. Bailey1 nel 19 gennaio 2006, David Bailey dà il h* di valutazione di errori (h (2π))^2*Σ (- n; n; f '' (k*h)). David Bailey lo considera come “altamente esatto„. Nell'esperimento abbiamo ottenuto vicino questa formula 4.2E-5 per cos(x) sopra [- 1, 1] al Livello 5 con le cifre reali di esattezza 15 e l'incertezza corrispondente 5.0E-15. Al Livello 6 sarebbe 1E-5 ed al Livello 7 (esattezza reale più di 90 cifre) sarebbe 2.5E-6. Effettivamente, h*Σ (- n; n; f '')/((del k*h) 2π) ^2 non cambia significativamente e h^2 è diviso per 4 ad ogni livello. Tale valutazione è lontano da essere “altamente esatta„.

Conclusione. Lo schema di quadratura del tanh-sinh converge rapidamente ed esattamente per grande varietà di funzioni con poche eccezioni. Non ci è procedura universale pratica di valutazione di errori. Quando la procedura converge “normalmente„, la differenza fra le somme dei livelli è una valutazione pratica di errori.

 

 

 

 

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