探索の反対機能

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反対機能の短い形式定義がない。 ここに私達は形式定義を避け、概念に読取装置を導入するために反対機能を記述することを試みる。 y = 2x機能をy = 2^xは上付き文字を使用して、考慮しよう:

 

y = 2^x

x=0、y=2^0=1.時。 x=1、y=2^1=2.時。 x=2、y=2^2=4.時。 ここで頼むために: どんなX-Y =1のためか。 答え: x=0のため。 どんなX-Y =2のためか。 x=1.のため。 どんなX-Y =4のためか。 x=2.のため。  従ってyのある特定の値のために私達は丁度対応を有する1つのx。 これは機能の定義を満たす。 従って、私達は領域があるところでxが値であるy=2^xの範囲および範囲y=2^x.の領域であるかyがアーギュメントである機能を有し。 構築によってある特定のアーギュメントのための私達の機能リターン実数bそのような物ことa=2^b。 これはベース2.表示法b=log2aかx=log2yとのロガリズムの定義である。 慣例ではアーギュメントがyによるxそして値によって表示されるので、私達はxおよびy.を切替えなければならない。 従って私達はy=log2xを得る。 この機能は構築によって反対機能のy = 2x行う。 グラフのためのy = 2xおよびx=log2yのためのグラフが一致することに注目しなさい。 しかし私達がxおよびyの役割を切替えるとき、グラフは座標系の主要な対角線に関して反映される。 従ってy=log2xのグラフは主要な対角線に関してグラフに対称的のy = 2xである:

y = 2^xおよびy =ログ(x)ベース2

ここでy=sin (x)を考慮しなさい。 正弦のための反対機能を構築しよう。 従ってyの、なぜならある特定の値私達はそのような物ことy=sin (x) xを見つけたいと思う。 g.によってそのような反対機能を表示しよう。 従って、x=g (y)。 ここでxおよびy.の役割を切替えなさい。 私達はy=g (x)を得る。 私達のでy=gのグラフ(x)に対称的y=sinのグラフ(x)主要な対角線に関して。 私達は数学の中心のレベル2からパラメーター付き図示の計算機第2を使用してそのような映像を構築してもいい:

x=tau、y=sin (tau)およびx=sin (tau)、y=tau

私達はことをgのグラフ見る(x)はそこのある特定のxのための丁度対応する1つのy.である機能のための条件を満たさない。 従って私達が構築したものは、機能ではない。 事はどこでうまくいかなかったか。 相違間のy = 2xおよびy=sin (x)は第1 1対1機能であり、第2がないことである。 私達はy=sinのための反対機能を構築できない(x)同じ方法でのためのとy = 2x。 状態の解決策は罪の領域を狭くすることである(x)どこにに1あるか大きさで分類するため。 私達は長さのπの間隔を選択してもいいが、規定は、- π/2からπ/2.へ起源の近くで選択することである。 そのような領域のsin(x)は1対1である。 ここで私達は反対機能gを構築してもいい(x)そのようなのために罪を「限定した」(x):

y=sin (x)およびy=asin (x)で[- pi/2、pi/2]

グリーン・ラインは狭くされた正弦のグラフであり、ブルーラインは正弦の反対機能である。 右のWindowsで私達は歴史的に正弦の反対機能がArcsineと呼出されたことを機能が両方とも主要な対角線y=x.、それに近い起源の近くでアーク(角度)は正弦のある特定の値に相当してことを見ることができる。 アークサインの領域は間隔[- 1、1]および範囲はある[- π/2、π/2]である。

同様に私達は領域[- 1、1]および範囲[0のπ]との余弦のためのArccosineを構築する。 紫色ラインは余弦のグラフであり、黄線はArccosineのグラフである。

y=cos (x)およびy=acos (x)で[0、pi]

同様に私達は領域のArctangentを全体の実質ラインおよび範囲構築する(- π/2、π/2)。

y=atan (x)

同様に私達は2つの成っている2つの間隔から成っている領域のArccotangent (-無限、0)、(0の無限)および範囲を間隔から[- π/2、0)構築する、(0、π/2]。 ゼロが範囲にないことに注目しなさい。 実際に、アークゼロで正弦はゼロである。 ctg (以来x)=cos不可能である何が(x)/sin (x)のctg (0は) cos(0) /sin (0) =1/0である。 Arccotangentの緑グラフは主要な対角線に関して余接の青いグラフの中央部分の反射である。 残された緑の垂直線(プログラミングの限定)右ことを(粗い) Windowsが示すが(より良い) WindowsはArccotangentがゼロで定義することではないことを示す。

y=actg (x)およびy=ctg (x)

建物の反対の三角法機能の後でy=x^3の建物の反対機能のタスクは容易である。 明らかにこれはxの第3ルート、または同じy=x^ (1/3)年である:

y=x^3およびy=x^ (1/3)年

y=x^2.を考慮しなさい。 再度これは1対1機能ではないし、私達は間隔[0の無限)にy=x^2が1対1であるところで、y=x^2の領域を狭くする。 明らかにy=x^2の反対機能はxのy=x^ (1/2)の二乗根である:

y=x^2およびx=^ (1/2)

私達があらゆる機能のための反対機能を構築することを学ぶことに注目しなさい。 私達は番号に機能に機能を番号のマップに同様にマップする。 機能への機能のマップはオペレータと呼出される。 従って私達は機能fに反対機能オペレータを加える(x)は反対機能gを(得、x)。 そのようなg (x)は表示されたf -1 (であるx)。 fに類似している見る(x) 1つ引く力で。 区別するのに文脈を使用しなさい。 従ってアークサイン、Arccosine、ArctangentおよびArccotangentの代りに私達は日焼けする1、ctg-1罪1、Cos1を書いてもいい。 それがあることをことに反対機能の反対機能ある元の機能が注目しなさい(f -1 (x)) - x) 1=f (。 またfことに注目しなさい(f -1の領域のf -1の(x)) =x (x)しかしf -1 (fは(x))必ずしもf (x)の領域のxではない。 トリックは何であるか。 相違は領域ある(および範囲に)。 fの領域(f -1は(x)) f -1の領域である(x)は、それf (x)、およびf -1の領域の範囲である(fは(x)) f (x)の領域である。  fのグラフ(f -1は(x))主要な対角線の部分常にである。 f -1のグラフ(fはでだけ主要な対角線と(x))起源一致するかもしれない(時々全体の主要な対角線と)。 次に例がある。

y= (x^2)^ (1/2)

y= (x^2)^ (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (罪(x))

arcsinと同じグラフ(罪に(x))機能(- 1) ^floor (1/2が- x/πある) * (x+π*floor (1/2-x/π))。

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (Cos (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (日焼け(x))

y=arctan (日焼け(x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

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