反対機能。 概念の完全な調査。

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反対機能を探索する記事で私達は反対機能の形式定義を避けるトピックに最初アプローチをした。 反対機能の概念を完全に調査しよう。

セット理論的な視点からの機能は一組の発注されたペアである。 例えば、y=2xはある{(x、2*x) | X ϵ R}。 1対1機能をf =取りなさい{(xのy) | fが一組発注されたペアと一般にのある特定のx.のためのyの計算として機能を表示するところ、X ϵ Dのy=f (x)}。 fの領域はDであり、範囲はR.である。 発注されたペアのセットをg =考慮しなさい{(yのx) | X ϵ Dのy=f (x)}。 従って、私達はxおよびy.を切替えた。 gは機能であるか。 fが1対1、はいであるので、gは機能である。 各々のある特定のyのために私達は対応する1つのx.を丁度有する。 文字はXおよびyちょうど記号によって使用される内部によってカールされるブラケットである。 私達がg =書けば{(aのb) | X ϵ Dのa=fは(b)}、論理変更しない。 従ってg =私達は書いてもいい{(xのy) | アーギュメントがxおよび値によって表示されることyのϵ Dの規定にy.によって続くx=fは(y)}表示される。 従って私達は定義を作り出してもいい:

定義1。

f =割り当てなさい{(xのy) | X ϵ Dのy=fは(x)} 1対1機能である。 それからg = {(xのy) | yのϵ Dのx=fは(y)} f.のための反対機能と呼出される。

 

慣例ではfの反対機能はf -1によって表示される。 従ってg = f -1

丁度ある特定のf.のための1つの反対機能があること厳密でセット理論的な証拠を与えることは可能である。 明らかようにそれを受け入れよう。

gがfのための反対機能そしてfはg.のための反対機能であることに注目しなさい。 実際に、f = {(xのy) | X ϵ Dのy=f (x)} = {(xのy) | yのϵ Rのx=g (y)}。 従ってfおよびgの論理的な役割は対称である。 fにもgにも互い上の好みがない。 従って私達は1対1機能のための丁度反対機能の相互に1つのペアがあると言ってもいい。 実際に、2つの機能の間の切替えの切替えxそしてyの結果。 反対機能それをのペアは相互に呼出そう。

標準関数間で私達は反対機能の次のペアを相互に有する:  (e^x、ln (x))、(sinh (x)のasinh (x))。 私達はまたの反対機能よりとるに足らないペアを相互に組み立ててもいい: (2x、x/2)、(x^3のx^ (1/3)年)。 私達が例えばy.のための元の機能を、y = 1 + 2x 「解決する」そのような構築の間にyのために解決される: X = (y -1の)/2。 従って私達は反対機能(1 + 2xのペアを相互に得る、(x - 1) /2)。 私達は1対1機能のためにだけ働くのでそのような「解決」を注意深く使用するべきである(1対1機能は集合論のbijectionsと呼出される)。

私達は正弦の反対機能としてアークサインについて考えるのが常であった。 それはないか。 答えがNo.のアークサインのの感覚では定義1 bijectionに間隔へあり、反対機能が、それである正弦の制限ある[- π/2、π/2]。 従って間隔への正弦のアークサインそして制限は[- π/2、π/2]反対機能のペアを形作る。 私達は反対機能の慣習的なペア正弦そしてアークサインを呼出すことができる。 反対機能の慣習的なペアのもう一つの例はx.のxの平方され、二乗根のペアである。 しかし私達は反対機能のペアにあてはまる事実が必ずしも反対機能の慣習的なペアにあてはまないことを覚えるべきである。

 

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