탐구 역함수

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역함수의 짧은 형식 정의가 없다. 여기에서 우리는 형식 정의를 피하고 개념에 독자를 소개하기 위하여 역함수를 기술하는 것을 시도한다. y = 2x 기능을 y = 2^x는 어깨글자를 사용하여, 고려하자:

 

y = 2^x

x=0, y=2^0=1. 때. x=1, y=2^1=2. 때. x=2, y=2^2=4. 때. 지금 묻기 위하여 시킨다: 무슨 x y=1를 위해? 응답: x=0를 위해. 무슨 x y=2를 위해? x=1.를 위해. 무슨 x y=4를 위해? x=2.를 위해.  따라서 y의 어떤 주어진 가치든지를 위해 우리는 정확하게 대응이 있다 1개의 x. 이것은 기능의 정의를 만족시킨다. 따라서, 우리는 도메인이 있는 곳에와 x가 가치인 및 y=2^x의 범위와 범위 y=2^x.의 도메인인지 y가 논쟁인 기능이 있다. 건축에 의하여 주어진 논쟁을 위한 우리의 기능 반환 실수 b 그 같은 a=2^b. 이것은 기초 2. 표기법 b=log2a 또는 x=log2y를 가진 대수의 정의이다. 관례에 의해 논쟁이 y에 의하여 x 그리고 가치에 의해 표시되기 때문에, 우리는 x와 y.를 전환해야 한다. 따라서 우리는 y=log2x를 얻는다. 이 기능은 건축 옆에 역함수의 y = 2x이다. 도표 를 위한 y = 2x 과 x=log2y 를 위한 도표가 투합한ㄴ다는 것을 유의하십시오. 그러나 우리가 x와 y의 역할을 전환할 때, 도표는 좌표계의 주요 대각선에 관하여 반영된다. 따라서 y=log2x의 도표는 주요 대각선에 관하여 도표에 상칭적의 y = 2x이다:

y = 2^x와 y = 로그 (x) 기초 2

지금 y=sin (x)를 고려하십시오. 정현을 위한 역함수를 건설하자. y의 따라서, 왜냐하면 주어진 가치 우리는 그 같은 y=sin (x) x를 찾아내고 싶다. g.에 의하여 그 같은 역함수를 표시하자. 따라서, x=g (y). 지금 x와 y.의 역할을 전환하십시오. 우리는 y=g (x)를 얻는다. 우리 이니까 y=g의 도표 (x)에 상칭 y=sin의 도표 (x) 주요 대각선에 관하여. 우리는 수학 센터 수준 2에서 매개 변수 도표로 나타내는 계산기 제 2를 사용하여 그 같은 그림을 건설해서 좋다:

x=tau, y=sin (tau) 및 x=sin (tau), y=tau

우리는 g의 도표 본다 (x)는 거기 주어진 x를 위한 정확하게 1개의 대응 y.인 기능을 위한 필요조건을 만족시키지 않는다. 우리가 건축한 무슨은 따라서, 기능이 아니다. 것은 어디에서 잘못되었는가? 다름 사이 y = 2x 및 y=sin (x)는 첫번째 일대일 함수이고 제2가 이지 않는다는 것을 이다. 우리는 y=sin를 위한 역함수를 건설할 수 없다 (x) 동일한 방법에 를 위한과 y = 2x. 상황의 치료는 죄악의 도메인을 좁히기 위한 것이다 (x) 어디에 에 1 인지 치수를 재기 위하여. 우리는 길이 π의 어떤 간격든지 선택해서 좋다 그러나 인습은, - π/2에서 π/2.에 기점의 가까이에 선택하기 위한 것이다. 그 같은 도메인 죄악에 (x)는 1 대 1 이다. 지금 우리는 역함수 g를 건설해서 좋다 (x) 그 같은을 위해 죄악을 "제한했다" (x):

y=sin (x)와 y=asin (x)에 [- pi/2, pi/2]

녹색 선은 좁혀진 정현의 도표이고 블루 라인은 정현의 역함수이다. 맞은 Windows에서 우리는 역사적으로 정현의 역함수가 Arcsine이라고 칭한 두 기능 다 주요 대각선 y=x., 그것에 가깝다는 것을 기점의 가까이에 아크 (각)는 정현의 주어진 가치에 일치하는 볼 수 있다. 아크사인의 도메인은 간격 [- 1, 1] 범위는 이고 [- π/2, π/2]이다.

유사하게 우리는 도메인 [- 1, 1]와 범위 [0 의 π]를 가진 여현을 위한 아크코사인을 건설한다. 자주색 선은 여현의 도표이고 노란 선은 아크코사인의 도표이다.

y=cos (x)와 y=acos (x)에 [0, pi]

유사하게 우리는 도메인을 가진 아크탄젠트를 전체 실제적인 선 및 범위 건설한다 (- π/2, π/2).

y=atan (x)

유사하게 우리는 2개 간격으로 이루어져 있는 도메인을 가진 Arccotangent (- 무한대, 0), (0 의 무한대)와 2개 이루어져 있는 범위를 간격으로 [- π/2, 0) 건설한다, (0, π/2]. 0가 범위에 다는 것을 유의하십시오. 실제로, 아크 0에 정현은 0이다. ctg (부터 x)=cos 불가능한 무엇이 (x)/sin (x) 의 ctg (0은) cos(0) /sin (0) =1/0일 것입니다. Arccotangent의 녹색 도표는 주요 대각선에 관하여 여접의 파란 도표의 중앙 부분의 반영이다. 남겨둔 녹색 수직선 (프로그램의 제한) 맞은 것 (조악한) Windows가 보여주더라도 (더 정밀한) Windows는 Arccotangent가 0에 정의하는 것이 아니다는 것을 보여준다.

y=actg (x)와 y=ctg (x)

건물 역삼각 함수 후에 y=x^3의 건물 역함수의 업무는 쉽다. 분명히 이것은 x의 제 3 의 루트, 또는 동일한 y=x^ (1/3)년이다:

y=x^3와 y=x^ (1/3)년

y=x^2.를 고려하십시오. 또 다시 이것은 일대일 함수가 아니 우리는 간격 [0 의 무한대)에 y=x^2가 1 대 1 인 곳에, y=x^2의 도메인을 좁힌다. 분명히 y=x^2의 역함수는 x 의 y=x^ (1/2)의 제곱근이다:

y=x^2와 x=^ (1/2)

우리가 어떤 기능든지를 위한 역함수를 건설하는 것을 배운ㄴ다는 것을 유의하십시오. 우리는 수에 기능에 기능을 수를 지도로 나타내기와 유사하게 지도로 나타낸다. 기능에 기능의 지도로 나타내는 것은 통신수에게 불린다. 따라서 우리는 기능 f에 역함수 통신수를 적용한다 (x)는 역함수 g를 (얻고 x). 그 같은 g (x)는 표시한 f -1 (이다 x). f와 유사하게 본다 (x) 하나 마이너스 힘에 있는. 구별하기 위하여 문맥을 이용하십시오. 따라서 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 Arccotangent 대신에 우리는, 무두질한다 1, ctg-1 죄악 1, cos 1를 써서 좋다. 그것이 다는 것을 역함수의 역함수다는 것을 본래 기능 유의하십시오 (f -1 (x)) - x) 1=f (. f 또한 유의하십시오 (f -1의 도메인에 f -1 (x)) =x (x) 그러나 f -1 (f는 (x)) 반드시 f (x)의 도메인에 x가 아니다. 간계는 무엇인가? 다름은 도메인 있다 (와 범위에). f의 도메인 (f -1는 (x)) f -1의 도메인이다 (x)는, 그것 f (x), 그리고 f -1의 도메인의 범위이다 (f는 (x)) f (x)의 도메인이다.  f의 도표 (f -1는 (x)) 항상 주요 대각선의 부분이다. 아래 보기는 이다.

y= (x^2)^ (1/2)

y= (x^2)^ (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (죄악 (x))

arcsin와 동일한 도표 (죄악에는 (x)) 기능 (- 1) ^floor (1/2가 - x/π 있다) * (x+π*floor (1/2-x/π)).

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (cos (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (tan (x))

y=arctan (tan (x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

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