테일러와 Maclaurin 탐구 다항식

수학 소프트웨어. 수학 연구. 수학 교육. Tvalx 제품.

 

우리가 알고 있던 대로, 내부 컴퓨터 조작은 매우 원시적인 이항 연산이다. 우리는 sin(1/4) 같이 계산 표정을 위한 기계 부호가 다고 예상할 수 없다. 그것은 프로그래머를 위한 업무 이다. 당연히, Maclaurin와 테일러 다항식은 산수 작동과 매끄러운 기능 사이 브리지로 여기에서 포함되어야 한다. 수학 센터 수준 2.에서 숫자 도표로 나타내는 계산기 제 2의 도움을 가진 Maclaurin와 테일러급수의 기능을 탐구하자.

정현 y=sin (x)의 도표를 고려하십시오. 정현을 위한 맥로린 급수는 이다 Σ (0; 무한대; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!) . 정현을 위한 다른 정도의 Maclaurin 다항식의 도표와 정현의 도표를 비교하자. 숫자 도표로 나타내는 계산기 제 2 식으로 정현을 위한 Maclauren 다항식은 Σ (0이다; 정도; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!). 영 정도, 그것의 다항식 조차 기점의 가까이에 y=x, 이다 좋은 근사이다.

Σ (0; 0; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

1도의 Maclaurin 다항식은 다음으로 있다:

Σ (0; 1; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

2도의 Maclaurin 다항식은 다음으로 있다:

Σ (0; 2; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

3도의 Maclaurin 다항식은 다음으로 있다:

Σ (0; 3; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

제 4 정도의 Maclaurin 다항식은 다음으로 있다:

Σ (0; 4; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

 

지금 일반적인 picuture는 명확하게 된다. 10 분의 1 정도의 Maclaurin 다항식에 가속하고 뛰어오르자:

Σ (0; 10; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

스무째 정도의 Maclaurin 다항식은 다음으로 있다:

Σ (0; 20; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

우리가 어떤 x.든지를 위한 충분히 큰 정도의 Maclaurin 다항식을 찾아내서 좋다 명확하다. 따라서 우리는 죄악을 접근해서 좋다 (x) 충분히 큰 정도의 Maclaurin 다항식을 산출하는 기점의 주위에 어떤 길이의 간격에. 좋았던 소리 라는 것 말고는 스무째 정도의 Maclaurin 다항식의 계산은 제 4 정도의 Maclaurin 다항식의 계산 보다는 현저하게 오래 이었다. 우리는 n 단위에 의하여 좌측에 기능 교대 도표의 공식에 있는 수 n에서 x를 추가하는 그것을 알고 있다. 일치적으로 기능의 공식에 있는 수 n에서 x를 감하는 것은 n 단위에 의하여 오른쪽으로 도표를 이동한다. 시험 Σ (0을 시킨다; 4; (- 1) ^k* (x-5) ^ (2k+1)/(2k+1)!) :

틀린 교대

우리는 다항식이 정현의 더 이상 좋은 근사가 아니다는 것을 본다. 무엇이 틀린가? x를 x-5 대체되어서 우리는 테일러 다항식으로 Maclaurin 다항식을 만든다. 그러나 5에 정현을 위한 테일러 다항식에서 n 정도의 일원에 계수는 다만 (- 정현을과 여현 교체하고 있는, 그러나 5.에 교체 정현 그리고 여현 무엇이 0에, 1) ^n가 아니다. 상황을 치료하기 위하여는 2π의 배수에 의하여 이동하자. 다음 계수는 좌측에 2π에 의하여 다시 (- 1) ^n. 교대이다:

-2pi에 테일러 다항식

오른쪽으로 2π에 의하여 이동하십시오:

2pi에 테일러 다항식

따라서 좋은 근사를 위해 우리는 첫째로 2π의 주어진 x 배수를 가까이 찾아낸다. 다음 어떤 (아주 높은) 정도를 가진 테일러 대응 다항식을 산출하십시오. 아래에 그림에서 우리는 앞으로 정도 조차 나쁜 근사를 준ㄴ다는 것을 볼 수 있다:

테일러 다항식 제 4 정도 

 

© 2008년 Tvalx

Tvalx 로고