역함수. 개념의 철저한 연구 결과.

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역함수를 탐구하는 기사에서 역함수의 형식 정의를 피하는 토픽에 첫번째 접근이 우리에 의하여 했다. 역함수의 개념을 완전히 공부하자.

놓 이론적인 관점에서 기능은 주문한 쌍의 세트이다. 예를 들면, y=2x는 이다 {(x, 2*x) | x ϵ R}. 어떤 일대일 함수든지 f = 취하십시오 {(x 의 y) | f가 주문한 쌍과 대개 주어진 x.를 위한 y 계산의 세트로 기능을 표시하는 곳에, x ϵ D 의 y=f (x)}. f의 도메인은 D이고 범위는 R.이다. 주문한 쌍의 세트를 g = 고려하십시오 {(y 의 x) | x ϵ D 의 y=f (x)}. 따라서, 우리는 x와 y.를 전환했다. g는 기능인가? f가 1 대 1, 그렇습니다 이기 때문에, g는 기능이다. 각 주어진 y를 위해 우리는 1개의 대응 x.가 정확하게 있다. 편지는 x와 y 다만 상징에 의하여 사용된 안에 의하여 컬된 부류이다. 우리가 g = 쓰는 경우에 {(a 의 b) | x ϵ D 의 a=f는 (b)}, 논리 변화하지 않는다. g = 따라서 우리는 써서 좋다 {(x 의 y) | 논쟁이 x와 가치에 의해 표시된다 y ϵ D 의 인습을 y.에 의해 따르는 x=f는 (y)} 표시된다. 따라서 우리는 정의를 공식화해서 좋다:

정의 1.

f = 시키십시오 {(x 의 y) | x ϵ D 의 y=f는 (x)} 일대일 함수있다. 다음 g = {(x 의 y) | y ϵ D 의 x=f는 (y)} f.를 위한 역함수에게 불린다.

 

관례에 의해 f의 역함수는 f -1에 의해 표시된다. 따라서 g = f -1.

정확하게 주어진 f.를 위한 1개의 역함수가 있다 엄격한 놓 이론적인 증거를 주는 것이 가능하다. 명백한 것과 같이 그것을 받아들이자.

g가 f를 위한 역함수 그 후에인 경우에 f는 g.를 위한 역함수다는 것을 유의하십시오. 실제로, f = {(x 의 y) | x ϵ D 의 y=f (x)} = {(x 의 y) | y ϵ R 의 x=g (y)}. f와 g의 따라서 논리적인 역할은 대칭 이다. f에는 도 아니다 g에는 아니 서로에 어떤 특혜든지 없다. 따라서 우리는 어떤 일대일 함수든지를 위한 정확하게 상호간에 역함수의 1개 쌍이 다고 말해서 좋다. 실제로, 2개의 기능 사이에서 전환에 있는 전환 x 그리고 y 결과. 그것을 상호간에 역함수의 쌍은 칭하자.

표준 함수 중 우리는 상호간에 역함수의 뒤에 오는 쌍이 있다:  (e^x, ln (x)), (sinh (x) 의 asinh (x)). 우리는 또한 상호간에 역함수의 더 하찮은 쌍을 구성해서 좋다: (2x, x/2), (x^3 의 x^ (1/3)년). 우리가 예를 들면 y.를 위한 본래 기능을, y = 1 + 2x "해결하는" 그 같은 건축 도중 y를 위해 해결된다: x = (y -1)/2. 따라서 우리는 상호간에 역함수 (1 + 2x의 쌍을 얻는다, (x - 1) /2). 우리는 일대일 함수를 위해서만 작동하기 때문에, 그 같은 "해결책"를 주의깊게 이용해야 한다 (일대일 함수는 집합론에 있는 bijections에게 불린다).

우리는 정현의 역함수로 아크사인을 생각했었다. 그것은 이지 않는가? 응답이 No. 아크사인의 감에인 정의 1 bijection에는 간격에 있고 역함수가, 그것이다 정현의 금지 있다 [- π/2, π/2]. 간격에 정현의 따라서 아크사인 그리고 금지는 [- π/2, π/2] 역함수의 쌍을 형성한다. 우리는 역함수의 전통적인 쌍 정현 그리고 아크사인을 부를 수 있었다. 역함수의 전통적인 쌍의 또 다른 보기는 x.의 x 네모로 하고 제곱근의 쌍이다. 그러나 우리는 역함수의 쌍을 위해 확실한, 사실이 반드시 역함수의 전통적인 쌍을 위해 확실하지 않다는 것을 기억해야 한다.

 

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