Funções inversas de exploração

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Não há nenhuma definição formal curta de funções inversas. Aqui nós tentamos evitar a definição formal e descrever funções inversas a fim introduzir o leitor ao conceito. Deixar-nos considerar a função y = 2^x, using o sobrescrito y = 2x:

y = 2^x

Quando x=0, y=2^0=1. Quando x=1, y=2^1=2. Quando x=2, y=2^2=4. Deixam agora para pedir: para que x y=1? Resposta: para x=0. Para que x y=2? Para x=1. Para que x y=4? Para x=2. Assim para todo o valor dado de y nós temos a correspondência exatamente um X. Isto satisfaz a definição da função. Assim, nós temos uma função onde y seja argumento e x seja um valor e onde o domínio está escala de y=2^x e escala é domínio de y=2^x. Pela construção nossa função para o argumento dado retornos número real b tais que a=2^b. Esta é uma definição do logarítmo com a notação b=log2a ou x=log2y da base 2. Desde que pela convenção o argumento é denotado por x e por valor por y, nós temos que comutar x e Y. Assim nós começ y=log2x. Esta função é pela construção a função inversa de y = 2x. Anotar que o gráfico para y = 2x e o gráfico para x=log2y coincidem. Mas quando nós comutamos papéis de x e de y, o gráfico é refletido no que diz respeito à diagonal principal do sistema côordenado. Assim o gráfico de y=log2x é simétrico ao gráfico de y = 2x no que diz respeito à diagonal principal:

y = 2^x e y = registro (x) base 2

Considerar agora o y=sin (x). Deixar-nos construir uma função inversa para o seno. Assim, porque valor dado de y nós queremos encontrar x tais que o y=sin (x). Deixar-nos denotar tal função inversa pelo G. Assim, x=g (y). Comutar agora papéis de x e de Y. Nós começ o y=g (x). Nós agora que gráfico do y=g (x) simétrico ao gráfico do y=sin (x) no que diz respeito à diagonal principal. Nós podemos construir tal retrato using a calculadora de representação gráfica 2D paramétrica do nível 2 do centro da matemática:

x=tau, y=sin (tau) e x=sin (tau), y=tau

Nós vemos que o gráfico de g (x) não satisfaz a exigência para funções que para x dado lá é exatamente um Y. correspondente. Assim, o que nós construímos não é uma função. Aonde as coisas foram mal? A diferença entre y = 2x e y=sin (x) é que o primeiro é função linear e o segundo não é. Nós não podemos construir a função inversa para o y=sin (x) na mesma maneira que para y = 2x. O remédio da situação é estreitar o domínio do sin(x) para fazer sob medida a onde é em--um. Nós podemos escolher todo o intervalo do π do comprimento mas a convenção é escolher perto da origem, - de π/2 a π/2. Em tal pecado do domínio (x) é linear. Agora nós podemos construir a função inversa g (x) para o tal “limitou” o sin(x):

y=sin (x) e y=asin (x) em [- pi/2, pi/2]

A Linha Verde é gráfico do seno estreitado e a linha azul é função inversa do seno. No indicador direito nós podemos ver que perto da origem que ambas as funções são próximo à diagonal principal y=x. a função inversa do seno foi chamada historicamente Arcsine, de que é o arco (ângulo) que corresponde ao valor dado do seno. O domínio do Arcsine é intervalo [- 1, 1] e a escala é [- π/2, π/2].

Similarmente nós construímos o Arccosine para o co-seno com domínio [- 1, 1] e escala [0, π]. A linha roxa é gráfico do co-seno e a linha amarela é gráfico do Arccosine.

y=cos (x) e y=acos (x) em [0, pi]

Similarmente nós construímos o Arctangent com domínio a linha e a escala reais inteiras (- π/2, π/2).

y=atan (x)

Similarmente nós construímos Arccotangent com o domínio que consiste em dois intervalos (- a infinidade, 0), (0, infinidade) e escala que consiste em dois intervalos [- π/2, 0), (0, π/2]. Anotar que zero não estão na escala. Certamente, no arco zero o seno é zero. Desde o ctg (x)=cos(x)/sin (x), ctg (0) seria cos(0) /sin (0) =1/0 o que é impossível. O gráfico verde de Arccotangent é uma reflexão da parte central do gráfico azul do Cotangent no que diz respeito à diagonal principal. Embora o indicador (grosseiro) deixado mostre que a linha vertical verde (limitação da programação) o direito o indicador (mais fino) mostra que Arccotangent não é definir em zero.

y=actg (x) e y=ctg (x)

Após funções trigonométricamente inversas do edifício a tarefa da função inversa do edifício de y=x^3 é fácil. Obviamente este é terceira raiz de x, ou o mesmo y=x^ (1/3):

y=x^3 e y=x^ (1/3)

Considerar y=x^2. Outra vez esta não é função linear e nós estreitamos o domínio de y=x^2 ao intervalo [0, infinidade), onde y=x^2 é linear. Obviamente a função inversa de y=x^2 é raiz quadrada de x, y=x^ (1/2):

y=x^2 e x=^ (1/2)

Anotar que nós aprendemos construir a função inversa para toda a função. Nós traçamos funções às funções similarmente a traçar números aos números. O traço das funções às funções é chamado operador. Assim nós aplicamos o operador da função inversa a uma função f (x) e começ a função inversa g (x). Tal g (x) é f denotado ^-1 (x). Olha similar a f (x) na potência menos uma. Usar o contexto para distinguir. Assim em vez do Arcsine, do Arccosine, do Arctangent e do Arccotangent nós podemos escrever sin-1, cos-1, tan-1, ctg-1. Anotar que função inversa da função inversa é a função original, de que é (f ^-1 (x)) ^{- 1=f} (x). Igualmente anotar que f (=x de f ^-1 (x)) no domínio de f ^-1 (x) mas f ^-1 (f (x)) não é necessariamente x no domínio de f (x). Que é o truque? A diferença está no domínio (e na escala). O domínio de f (f ^-1 (x)) é domínio de f ^-1 (x), de que é escala de f (x), e de domínio de f ^-1 (f (x)) é domínio de f (x). O gráfico de f (f ^-1 (x)) é sempre uma parte da diagonal principal. O gráfico de f ^-1 (f (x)) pode coincidir com a diagonal principal somente na origem (às vezes com a diagonal principal inteira). Abaixo estão os exemplos.