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O esquema da quadratura do tanh-sinh era foi tornado por Takasi e por Mori: Takahasi, Hidetosi; Mori, Masatake (1974), “fórmulas exponenciais dobro para a integração numérica”, publicações do instituto de investigação para as ciências matemáticas 9 (3): 721-741
A publicação a mais atrasada: David H. Bailey, Karthik Jeyabalan, e Xiaoye S. Li, “uma comparação do esquema high-precision da quadratura três”. Matemática experimental, 14.3 (2005).
Nós fizemos nossa própria pesquisa com ajuda da precisão 90 da calculadora da quadratura.
O esquema trabalhou muito bem para a grande variedade de funções lisas. Mesmo para funções com os derivados growing na extremidade aponta.
O esquema não são convirgidos com função Gamma.
Uma função especial foi construída para mostrar que o esquema dá às vezes erradamente a resposta. A saber f (x) = (sin(8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. O esquema dá o resultado perto de zero. Era predizível porque as funções têm o valor zero nos pontos onde o esquema calcula a nível 1 e 2. Mas a integral real não está perto a zero. Ver seu gráfico:
A publicação “Tanh-Sinhn quadratura High-Precision” David H. Bailey1 no 19 de janeiro de 2006, David Bailey dá o h* da avaliação do erro (h (2π))^2*Σ (- n; n; f '' (k*h)). David Bailey considera-o como “altamente exato”. Na experiência nós começ perto esta fórmula 4.2E-5 para cos(x) sobre [- 1, 1] a nível 5 com dígitos reais da exatidão 15 e incerteza correspondente 5.0E-15. A nível 6 seria 1E-5 e a nível 7 (exatidão real mais de 90 dígitos) seria 2.5E-6. Certamente, h*Σ (- n; n; f '') (do k*h)/(2π) ^2 não muda significativamente e h^2 é dividido por 4 a cada nível. Tal avaliação é longe de ser “altamente exata”.
Conclusão. O esquema da quadratura do tanh-sinh convirge rapidamente e exatamente para a grande variedade de funções com poucas exceções. Não há nenhum procedimento universal prático da avaliação do erro. Quando o algoritmo convirge “normalmente”, a diferença entre somas dos níveis é uma avaliação prática do erro.
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