Исследование Функций

Математическое Программное обеспечение. Математическое Исследование. Математическое Образование. Продукты Tvalx.

Что является функцией. Строгое определение функций дано в Теории множеств. В этой статье мы подразумеваем под функцией некоторое соответствие между аргументом x и значением y. Это соответствие выражается символически как y = f (x), где f обозначает некоторый способ, обычно формулу, отображения x на соответствующий y.  Таким образом у x и y имеют разные роли. Сначала мы берем x, затем для которого x мы находим точно один соответствующий y. Но позволено, чтобы два различных икса отображилисьна один игрек. Икс взят из данного множества, называемого областью определения функции. Множество игреков называют областью значений функции. Здесь мы всегда работаем с функциями, которые имеют область определения и область значений, которые являются подмножествами реальной линии (набор действительных чисел). Такие функции называются реальными функциями. Здесь мы идентифицируем набор действительных чисел и визуальное представление реальной линии в виде линии, начерченной на бумаге или школьной доске, хотя это не одно и тоже. Такая визуализация очень полезна для развития нашей интуиции и понимания математических фактов. Например, полезно чертить графы для того, чтобы понять функции. Но есть некоторые трудности. Во-первых, реальная линия бесконечна, тогда как начерченный граф конечен. Во-вторых, функция может иметь бесконечно "тонкое" поведение, например, колебаться около точки с бесконечно уменьшающимся шагом. Так как идеальный граф является "бесконечно тонким", а начерченный граф имеет некоторую толщину, мы не можем визуализировать такое поведение точным способом, можем только намекнуть. Следующая проблема - визуализация графов с помощью компьютеров. С одной стороны, компьютеры являются подходящими для рисунка графов, так как они способны к быстрым вычислениям. С другой стороны, компьютерный монитор состоит из пикселов, которые являются дискретными вещами. Даже рисунок круга на мониторе невозможен. Если Вы пристально посмотрите на круг, нарисованный на Вашем мониторе, то увидите, что круг состоит из коротких прямых линий. Тем не менее, компьютерная визуализация функции очень полезна для развития математической интуиции. Давайте исследовать некоторые функции, используя Математический Центр Уровня 1 и Математический Центр Уровня 2.

Самый простой граф - вероятно горизонтальная линия , данная формулой f (x) =5, например:

Мы легко догадываемся, что областью определения y = 5 является вся реальная линия (не только интервал от-5 до 5), и область значений состоит из одной точки 5.

Следующая функция  y = x:

Область определения y = x является вся реальная линия, и область значений - также вся реальная линия. У этой функции есть такая "хорошая" особенность как одно-однозначное соответствие. То есть, в дополнение к обычному "для каждого x из области определения есть точно один соответствующий y", мы имеем "для каждого y есть точно один соответствующий x".

Теперь рассмотрим y = x ²:

Из графа не очевидно, что область определения - вся реальная линия. Здесь мы должны применить логическое рассуждение и заключить, что мы можем вычислить x ² для любого положительного и отрицательного x. Так как икс в квадрате положителен для любого положительного и отрицательного икс, а ноль в квадрате есть ноль, мы заключаем, что областью значений является множество всех неотрицательных действительных чисел. Этофакт может быть иллюстрирован (не проверен, так как логическое рассуждение - первичный источник) тем, что граф не кончается, когда мы двигаемся вверх по графу.

Рассмотрим y = x ³:

Область определения - вся реальная линия, и область значений - вся реальная линия.

Графы y = x⁴, y=x⁶, y=x⁸, y=x¹⁰ - похожи на  y=x², но имеют более квадратное "основание" и с более крутые "склоны":

Так же для y=x⁵, y=x⁷, y=x⁹, y=x¹¹:

© 2008 Tvalx