Исследование Обратных Функций

Математическое Программное обеспечение. Математическое Исследование. Математическое Образование. Продукты Tvalx.

Не существует краткого формального определения обратных функций. Здесь мы пытаемся избежать формального определения и описать обратные функции неформально, чтобы сформировать у читателя представление. Рассматрим функцию y = 2^x, используя суперскрипт y = 2^x :

y = 2^x

Когда x=0, y=2^0=1. Когда x=1, y=2^1=2. Когда x=2, y=2^2=4. Теперь спросим: для какого икс игрек равен единице? Ответ: для x=0. Для какого x y=2? Для x=1. Для какого x y=4? Для x=2. Таким образом для любого данного значения y мы имеем вточности один соответствующий x. Это удовлетворяет определению функции. Таким образом, у нас есть функция, где y - аргумент, а x - значение и где область определения - это область значений для y=2^x, и область значений - область область определения y=2^x. В нашем построении функция для данного аргумента а возвращает действительное число возвращений b такое, что a=2^b. Это - определение логарифма с основой 2. Обозначение b=log₂a или x=log₂y. Поскольку принято аргумент обозначать x и значение y, мы должны поменять местами x и y. Таким образом мы получаем y=log₂x. Эта функция является обратной к y = 2^x. Отметьте, что графы для y = 2^x и x=log₂y совпадают. Но когда мы меняем ролями x и y, граф зеркально отражается относительно главной диагонали системы координат. Таким образом граф y=log₂x симметричен к графу y = 2^x относительно главной диагонали:

y = 2^x и y = регистрация (x) основа 2

Теперь рассмотрим синус y=sin (x). Давайте построим обратную функцию для синуса. То есть, для данного y мы хотим найти x такой, что y=sin (x). Давайте обозначим такую обратную функцию g. Так, x=g (y). Теперь поменяйте ролями x и y. Мы получаем y=g (x). Мы видим, что граф y=g (x) симметричен к графу y=sin (x) относительно главной диагонали. Мы можем построить такой граф с помощью Графического Калькулятора 2D Параметрического из Математического Центра Уровня 2

x=tau, y=sin (tau) и x=sin (tau), y=tau

Мы видим, что граф g (x) не удовлетворяет требование для функций, что для данного x есть точно один соответствующий y. Так, то ,что мы построили, не функция. Что не так, как надо? Различие между y = 2^x и y=sin (x) - то, что первой является одно-однозначной функцией, а вторая нет. Мы не можем построить обратную функцию для y=sin (x) по тому же пути что как построили y = 2^x. Чтобы исправить ситуацию, мы должны сузить область определения sin(x) так, чтобы сделать синус одно-однозначным. Мы можем выбрать любой интервал длины π, но общепринято брать интервал с центром в начале координат, то есть от - π/2 до π/2. На таком интервале синус является одно-однозначным. Теперь мы можем построить функцию g(x) обратную для такого "ограниченного" синуса:

y=sin (x) и y=asin (x) на [-pi/2, пи/2]

Зеленая линия - граф ограниченного Синуса, и синяя линия - обратная функция Синуса. В правом окне мы видим, что около начала координат обе функции близки к главной диагонали y=x. Исторически обратная функция Синуса была названа Arcsine, где Arc означает дугу (угол). Область определения Arcsine - интервал [-1, 1], и область значений - интервал [-π/2, π/2].

Подобно мы строим Arccosine для Косинуса с областью определения [-1, 1] и областью значений [0, π]. Фиолетовая линия - граф Косинуса, и желтая линия - граф Arccosine.

y=cos (x) и y=acos (x) на [0, пи]

Так же мы строим Арктангенс с областью определения вся реальная линия и областью значений (-π/2, π/2).

y=atan (x)

Так же мы строим Arccotangent с областью определения, состоящей из двух интервалов (-бесконечности, 0), (0, бесконечности) и областью значений, состоящей из двух интервалов [-π/2, 0), (0, π/2]. Отметьте, что ноль не входит в область значений. Действительно, в Синус ноля есть ноль. А так как ctg (x) =cos (x)/sin(x), ctg (0) был бы cos(0) / sin(0) =1/0, что невозможно. Зеленый граф Arccotangent - отражение центральной части синего графа Котангенса относительно главной диагонали. Хотя левое окно показывает зеленую вертикальную линию (ограничение программирования), правильное (более точное) окно показывает, что Arccotangent не определён в ноле.

y=actg (x) и y=ctg (x)

После построения обратных тригонометрических функций задача построения обратной функции для y=x^3 легка. Очевидно это - кубичный корень x, то есть y=x ^ (1/3):

y=x^3 и y=x ^ (1/3)

Рассмотрите y=x^2. Снова это не одно-однозначная функция, и мы сужаем область определения y=x^2 доинтервала [0, бесконечность), где y=x^2 является одно-однозначной. Очевидно обратная функция для y=x^2 - это квадратный корень x, y=x ^ (1/2):

y=x^2 и x = ^ (1/2)

Отметьте, что мы учимся строить обратную функцию для любой функции. При этои мы отображаем функцию на функцию, подобно отображению чисела на число. Отображение функций на функции называют оператором. Таким образом мы применяем оператор обратной функции к функции f (x) и получаем обратную функции g(x). Такая g(x) обозначается как f^-1(x). Выглядит похоже на f (x) в степени минус один. Используйте контекст, чтобы различить. Таким образом вместо Arcsine, Arccosine, Арктангенса и Arccotangent мы можем написать sin^-1, cos^-1, tan^-1, ctg^-1. Отметьте, что обратная функция обратной функции - это исходная функция, то есть (f^-1 (x))^-1=f (x) (на подмножестве области определения f (x)). Также отметьте, что f (f^-1 (x)) =x на области определения f^-1 (x), но f^-1 (f (x)) не обязательно x на области определения f (x). В чём причина? Различие находится в области определения и области значений. Область определения f (f^-1 (x)) совпадает с областью определения f^-1 (x), которая совпадает с областью значений f (x), а область определения f^-1 (f (x)) совпадает с областью определения f (x). Граф f (f^-1 (x)) всегда является частью главной диагонали. Граф f^-1 (f (x)) может совпасть с главной диагональю только в начале координат (иногда со всей главной диагональю). Ниже примеры.