Математическое Программное обеспечение. Математическое Исследование. Математическое Образование. Продукты Tvalx.
Как мы знаем, внутренние компьютерные операции являются довольно примитивными операциями над двоичными числами. Мы не можем ожидать, что существуют машинные коды для вычислительных выражений типа sin (1/4). Вычисление таких выражений - задача для программиста. Конечно, многочлены Тэйлора и Маклорена должны быть вовлечены здесь как мост между арифметическими операциями и гладкими функциями. Давайте исследовать возможности рядов Маклорена и Тэйлора с помощью Графического Калькулятора 2D Числового из Математического Центра Уровня 2 .
Рассмотрите граф синуса y=sin (x). Ряд Маклорен для Синуса 
. Давайте сравним граф Синуса с графами
многочленов
Маклорен различной степени для Синуса. С точки зрения Графического
Калькулятора 2D Числового, многочлен Маклорена для Синуса Σ (0; степень; (-1) ^k*x ^ (2k+1) / (2k+1)!). Даже
многочлен нулевой степени, y=x, является хорошим приближением около начала координат.
Затем многочлен Маклорена первой степени:
Затем многочлен Маклорена второй степени:
Затем многочлен Маклорена третьей степени:
Затем многочлен Маклорена четвертой степени:
Теперь общая картина становится ясной. Давайте ускоримся и перейдём сразу к многочлену Маклорена десятой степени:
Затем многочлен Маклорена двадцатой степени:
Ясно, что мы можем найти многочлен Маклорена достаточно большой степени для любого x. Таким образом мы можем найти числовое приближение sin (x) на интервале любой длины вокруг начала координат, вычисляя многочлен Маклорена достаточно большой степени. Всё хорошо за исключением того, что вычисление многочлена Маклорена двадцатой степени было заметно длиннее чем вычисление многочлена Маклорена четвертой степени. Мы знаем, что добавление числа n к x в формуле функции перемещает граф налево n единиц. Соответственно вычитание числа n к x в формуле функции перемещает граф направо n единиц. Попробуем Σ (0; 4; (-1) ^k * (x-5) ^ (2k+1) / (2k+1)!):
Мы видим, что этот многочлен не является хорошим приближением Синуса. Что не так? Заменяя x на x-5 мы превращаем многочлен Маклорена в многочлен Тэйлора. Но в многочлене Тэйлор для Синуса в точке 5 коэффициент в члене энной степени не только (-1) ^n, то есть чередование Синуса и Косинуса в ноле, но чередование Синуса и Косинуса в точке 5. Давайте попробуем сдвиг на кратное 2π. Тогда коэффициенты снова (-1) ^n. Сдвиг на 2π влево:
Сдвиг на 2π вправо:
Так для хорошего приближения мы сначала находим ближайшее к данному x кратное 2π. Затем вычисляем соответствующий многочлен Тэйлора с некоторой (не очень высокой) степенью. На картинке внизу мы можем видеть, что даже четвёртая степень дает неплохое приближение:
Набор калькуляторов производных и Тэйлора можно найти здесь, начиная с Калькулятора Производных Уровня 1 и Калькулятора Тэйлора Уровня 1 .
© 2008 Tvalx
