Математические средства программирования. Математические исследования. Математическое образование. Продукты Tvalx.
В статье Исследуя обратные функции мы сделали первый подход к теме избегая официального определения обратной функции. Сейчас изучим тщательно концепцию обратной функции.
С теоретико-множественной точки зрения функция является множеством упорядоченных пар. Например, y=2x {(x, 2*x) | x ϵ r}. Возмите любую одно-однозначную функцию f = {(x, y) | x ϵ d, y=f (x)}, где f обозначает функцию как множество упорядоченных пар и как правило вычисления y для заданного x. Областью определения f является D и областью значений является R. Рассмотрим множество упорядоченных пар g = {(y, x) | x ϵ d, y=f (x)}. Так, мы поменяли местами x и y. Является ли g функцией? Ввиду того, что f одно-однозначна, да, g является функция. Для каждого y мы имеем точно один соответствующий x. Если мы напишем g ={(a, b) | x ϵ d, a=f (b)}, логика не меняется. Так мы можем написать g = {(x, y) | ϵ d y, x=f (y)}, следуя за правилом, что аргумент обозначается x и значение обозначается y. Таким образом мы можем сформулировать определение:
Определение 1.
Пусть f = {(x, y) | x ϵ d, y=f (x)} является одно-однозначной функцией. Тогда g = {(x, y) | ϵ d y, x=f (y)} называется обратной функцией для f.
Обратную функцию принятообозначать f -1. Так g = f -1.
Возможно дать теоретико-множественное доказательство, что для данной функции f существует точно одна обратная функция f -1. Давайте примем это как очевидное.
Заметьте, что если g является обратной функцией f, то f является обратной функцией g . Действительно, f = {(x, y) | x ϵ d, y=f (x)} = {(x, y) | ϵ r y, x=g (y)}. Таким образом логически роли f и g симметричны. Ни f, ни g не имеют предпочтения перед другим. Таким образом, мы можем сказать, что для любой одно-однозначной функции существует одна пара взаимно-обратных функций. Деиствительно, меняя местами x и y, мы получаем две функции. Давайте назовём это парой взаимно-обратных функций.
Среди стандартных функций мы имеем следующий пары взаимно-обратных функций: (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Мы можем также построить более тривиальные пары взаимно-обратных функций: (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Во время такой конструкции мы «решаем» первоначальную функцию для y. Например, y = 1 + 2x решается для y: x = (y -1) / 2. Таким образом мы получаем пару взаимно-обратных функций (1 + 2x, (x - 1) /2). Мы должны использовать такое «решение» осторожно, ввиду того, что оно работает только для одно-однозначных функций .
Мы привычны думать, что арксинус является обратной функций синуса. Разве нет? В смысле Определения 1 нет, поскольку синус не является одно-однозначной функцией. Но арксинус является одно-однозначной функцией и имеет обратную функцию, которая является сужением синуса к интервалу [- π/2, π/2]. Таким образом арксинус и сужение синуса к интервалу [- π/2, π/2] формируют пару обратных функций. Мы можем назвать синус и арксинус традиционной парой обратных функций. Другим примером традиционной пары обратных функций будут квадрат и квадратный корень. Но мы должны помнить, что факты, которые истинны для пар обратных функций, не обязательно истинны для традиционных пар обратных функций.
© Tvalx 2008