Математическое Программное обеспечение. Математическое Исследование. Математическое Образование. Продукты Tvalx.
Давайте исследовать Нижную Неполную Гамма функцию, используя Математический Центр Уровень 2.
Нижняя Неполная Гамма функция определена бесконечным рядом Σ (0; бесконечность; (-1) ^k*x ^ (a+k) / (k! * (a+k))). Начнём с a=1. Возьмём верхний предел индекса 10, 20, 30. Скорируйте текст внизу в окно редактирования формулы Графического Калькулятора Числового из Математического Центра Уровня 2 :
Σ (0; 10; (-1) ^k*x ^ (1+k) / (k! * (1+k)))
Σ (0; 20; (-1) ^k*x ^ (1+k) / (k! * (1+k)))
Σ (0; 30; (-1) ^k*x ^ (1+k) / (k! * (1+k)))
После нескольких минут вычислений мы получаем общую картину, из которой мы можем заключить, что чем больший верхний предел мы берем, тем позже график справа начинает повышается. Таким образом мы можем ожидать, что с бесконечным верхним пределом граф никогда не повышается и остается в y=1:
Мы видим, что верхний предел 30 или 40 дает достаточно точную картину в диапазоне x-10, 10. Давайте варьировать a. Возьмите а= 1, 2, 3, 4:
Σ (0; 30; (-1) ^k*x ^ (1+k) / (k! * (1+k)))
Σ (0; 30; (-1) ^k*x ^ (2+k) / (k! * (2+k)))
Σ (0; 30; (-1) ^k*x ^ (3+k) / (k! * (3+k)))
Σ (0; 40; (-1) ^k*x ^ (4+k) / (k! * (4+k)))
Увеличьте масштаб изображения дважды и открытое Левое Окно:
Мы видим, все графы проходят через начало координат. Они идут резко вниз слева, в зависимости от чётности а, и они приближаются к горизонтальной линии y = (a-1)! справа.
Теперь возьмите а= 0,-1,-2,-3. Мы получаем пустую картину. Скопируйте формула Σ (0; 30; (-1) ^k*x0 ^ (a+k) / (k! * (a+k))) в Научный Калькулятор Точность 72 и варьируйте переменную x0 и пользовательскую константу a. Мы получаем в результате Бесконечность. Таким образом у Нижней Неполной Гамма функции есть особенность в ноле и отрицательных целых величинах параметра a. Это логично так как для k =-a, мы получаем члена суммирования с нулевым знаменателем.
Возьмите =-1.5,-0.5, 0.5, 1.5:
Картина несколько сложновата. Это закономерно, поскольку функция имеет особенности в неположительных целых числах. Для полного исследования мы нуждаемся в графическом калькуляторе 6D (комплексная функция с двумя переменными).
Давайте сделаем x в LIGamma (a; x), параметром и сделаем а непрерывной переменной. Так что x в Графическом Калькуляторе 2D Числовом становится параметром "а" в LIGamma (a; x). Возьмите x=0.5, 1, 5, 10:
Σ (0; 40; (-1) ^k*0.5 ^ (x+k) / (k! * (x+k)))
Σ (0; 40; (-1) ^k*1 ^ (x+k) / (k! * (x+k)))
Σ (0; 40; (-1) ^k*5 ^ (x+k) / (k! * (x+k)))
Σ (0; 40; (-1) ^k*10 ^ (x+k) / (k! * (x+k)))
Отметьте в вариантах меню Tools Анти-Alias и Высокое качество, измените масштаб изображения дважды, поменяйте палитру и открытое левое окно.
Картина приближается к графу Гамма функции, когда x идет в бесконечность.
© 2008 Tvalx
