Funciones inversas de exploración

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No hay definición formal corta de funciones inversas. Aquí intentamos evitar la definición formal y describir funciones inversas para presentar al programa de lectura al concepto. Consideremos la función y = 2^x, usar exponente y = 2x:

 

y = 2^x

Cuando x=0, y=2^0=1. Cuando x=1, y=2^1=2. Cuando x=2, y=2^2=4. Ahora dejan para pedir: ¿para qué x y=1? Respuesta: para x=0. ¿Para qué x y=2? Para x=1. ¿Para qué x y=4? Para x=2.  Así para cualquier valor dado de y tenemos correspondencia exactamente un X. Esto satisface la definición de la función. Así pues, tenemos una función donde está argumento y y x es un valor y donde está el dominio rango de y=2^x y rango es dominio de y=2^x. Por la construcción nuestra función para el argumento dado vueltas número verdadero b tales que a=2^b. Ésta es una definición del logaritmo con la notación b=log2a o x=log2y de la base 2. Puesto que por la convención el argumento es denotado por x y valor por y, tenemos que cambiar x y el Y. Así conseguimos y=log2x. Esta función es al lado de construcción la función inversa de y = 2x. Observar que coinciden el gráfico para y = 2x y el gráfico para x=log2y. Pero cuando cambiamos papeles de x y de y, el gráfico se refleja con respecto a la diagonal principal del sistema coordinado. Así el gráfico de y=log2x es simétrico al gráfico de y = 2x con respecto a la diagonal principal:

y = 2^x y y = registro (x) base 2

Ahora considerar el y=sin (x). Construyamos una función inversa para el seno. Así pues, porque valor dado de y queremos encontrar x tales que el y=sin (x). Denotemos tal función inversa por el G. Así pues, x=g (y). Ahora cambiar el papeles de x y del Y. Conseguimos el y=g (x). Nosotros ahora que gráfico del y=g (x) simétrico al gráfico del y=sin (x) con respecto a la diagonal principal. Podemos construir tal cuadro usar la calculadora de representación gráfico gráficamente 2.a paramétrica del nivel 2 del centro de la matemáticas:

x=tau, y=sin (tau) y x=sin (tau), y=tau

Vemos que el gráfico de g (x) no satisface el requisito para las funciones que para x dado allí es exactamente un Y. correspondiente. Así pues, qué construimos no es una función. ¿Dónde las cosas salieron mal? La diferencia entre y = 2x y y=sin (x) es que el primer es función una por y no es el segundo. No podemos construir la función inversa para el y=sin (x) en la misma manera que para y = 2x. El remedio de la situación es enangostar el dominio del sin(x) clasificar a donde está en--uno. Podemos elegir cualquier intervalo del π de la longitud pero la convención es elegir cerca del origen, - de π/2 a π/2. En tal pecado del dominio (x) es una por. Ahora podemos construir la función inversa g (x) para tal “limitó” sin(x):

y=sin (x) y y=asin (x) en [- pi/2, pi/2]

La Línea Verde es gráfico del seno enangostado y la línea azul es función inversa del seno. En la ventana derecha podemos ver que cerca de origen que ambas funciones están cercano a la diagonal principal y=x. históricamente la función inversa del seno fue llamada Arcsine, de que está el arco (ángulo) que corresponde al valor dado del seno. El dominio del arcoseno es intervalo [- 1, 1] y el rango es [- π/2, π/2].

Construimos semejantemente el Arccosine para el coseno con dominio [- 1, 1] y el rango [0, π]. La línea púrpura es gráfico del coseno y la línea amarilla es gráfico del Arccosine.

y=cos (x) y y=acos (x) en [0, pi]

Construimos semejantemente Arctangent con dominio la línea y el rango verdaderos enteros (- π/2, π/2).

y=atan (x)

Construimos semejantemente Arccotangent con el dominio que consiste en dos intervalos (- el infinito, 0), (0, infinito) y el rango que consiste en dos intervalos [- π/2, 0), (0, π/2]. Observar que cero no está en el rango. De hecho, en el arco cero el seno es cero. Desde el ctg (x)=cos(x)/sin (x), ctg (0) sería lechuga romana (0) /sin (0) =1/0 cuál es imposible. El gráfico verde de Arccotangent es una reflexión de la parte central del gráfico azul de la cotangente con respecto a diagonal principal. Aunque la ventana (gruesa) dejada muestre que la línea vertical verde (limitación de la programación) el derecho una ventana (más fina) muestra que Arccotangent no es definir en cero.

y=actg (x) y y=ctg (x)

Después de funciones trigonométricas inversas del edificio la tarea de la función inversa del edificio de y=x^3 es fácil. Éste es obviamente tercera raíz de x, o el mismo y=x^ (1/3):

y=x^3 y y=x^ (1/3)

Considerar y=x^2. Ésta no es otra vez función una por y enangostamos el dominio de y=x^2 al intervalo [0, infinito), donde está uno por y=x^2. La función inversa de y=x^2 es obviamente raíz cuadrada de x, y=x^ (el 1/2):

y=x^2 y x=^ (el 1/2)

Observar que aprendemos construir la función inversa para cualquier función. Correlacionamos funciones a las funciones semejantemente a correlacionar números a los números. La correspondencia de funciones a las funciones se llama operador. Aplicamos tan a operador de la función inversa a una función f (x) y consigue la función inversa g (x). Tal g (x) es f denotada -1 (x). Parece similar a f (x) en potencia menos una. Utilizar el contexto para distinguir. Así en vez de arcoseno, de Arccosine, de Arctangent y de Arccotangent podemos escribir sin-1, cos-1, tan-1, ctg-1. Observar que función inversa de la función inversa es la función original, es de que (f -1 (x)) - 1=f (x). También observar que f =x (de f -1 (x)) en el dominio de f -1 (x) solamente f -1 (f (x)) no es necesario x en el dominio de f (x). ¿Cuál es el truco? La diferencia está en dominio (y rango). El dominio de f (f -1 (x)) es dominio de f -1 (x), de que es rango de f (x), y del dominio de f -1 (f (x)) es dominio de f (x).  El gráfico de f (f -1 (x)) es siempre una parte de la diagonal principal. El gráfico de f -1 (f (x)) puede coincidir con la diagonal principal solamente en el origen (a veces con la diagonal principal entera). Debajo están los ejemplos.

y= (x^2)^ (el 1/2)

y= (x^2)^ (el 1/2)

 

y= (x^ (el 1/2))^2

y= (x^ (el 1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (pecado (x))

El mismo gráfico que arcsin (el sin(x)) tiene ^floor de la función (- 1) (el 1/2 - x/π) * (x+π*floor (1/2-x/π)).

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(lechuga romana (x))

y=arccos (lechuga romana (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (tan (x))

y=arctan (tan (x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

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