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En el artículo que exploraba funciones inversas hicimos el primer acercamiento al asunto que evitaba la definición formal de la función inversa. Estudiemos a conciencia el concepto de función inversa.
Desde punto de vista fijar-teórico una función es un conjunto de pares pedidos. Por ejemplo, y=2x es {(x, 2*x) | x ϵ R}. Tomar cualquier función una por f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)}, donde f denota la función como conjunto de pares pedidos y en general de computar y para el X. dado. El dominio de f es D y el rango es R. Considerar el conjunto de pares pedidos g = {(y, x) | x ϵ D, y=f (x)}. Así pues, cambiamos x y el Y. ¿Es g una función? Puesto que f es una por, sí, g es una función. Para cada y dada tenemos exactamente un X. correspondiente. Las cartas x y y son apenas corchetes encrespados interior usados los símbolos. Si escribimos g = {(a, b) | x el ϵ D, a=f (b)}, la lógica no cambia. Podemos escribir tan g = {(x, y) | el ϵ D, x=f de y (y)} para seguir a la convención que el argumento es denotado por x y valor es denotado por el Y. Así podemos formular una definición:
Definición 1.
Dejar f = {(x, y) | x el ϵ D, y=f (x)} sea una función una por. Entonces g = {(x, y) | el ϵ D, x=f de y (y)} se llama función inversa para el F.
Por la convención una función inversa de f es denotada por f -1. Tan g = f -1.
Es posible dar una prueba fijar-teórica terminante que hay exactamente una función inversa para el F. dado. Validémoslo como obvio.
Observar que si g es la función inversa para f entonces f es la función inversa para el G. De hecho, f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} = {(x, y) | ϵ R, x=g de y (y)}. Así el papeles lógica de f y de g son simétrica. Ni f ni g tiene cualquier preferencia sobre uno a. Así podemos decir que para cualquier función una por hay exactamente un pares de funciones mutuamente inversas. De hecho, x que cambia y resultados de y en cambiar entre dos funciones. Llamémosla un par de funciones mutuamente inversas.
Entre funciones estándar tenemos pares siguientes de funciones mutuamente inversas: (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Podemos también construir pares más triviales de funciones mutuamente inversas: (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Durante tal construcción que “solucionamos” la función original para el Y. por ejemplo, y = 1 + 2x se soluciona para y: x = ()/2. de y -1. Así conseguimos un par de las funciones mutuamente inversas (1 + 2x, (x - 1) /2). Debemos utilizar tal “solución” cuidadosamente, puesto que trabaja solamente para las funciones unas por (las funciones unas por se llaman los bijections en teoría determinada).
Pensábamos en arcoseno como función inversa del seno. ¿No es? En el sentido de la definición 1 que la respuesta es arcoseno del No. está un bijection y tiene una función inversa, de que es una restricción del seno al intervalo [- π/2, π/2]. Así el arcoseno y la restricción del seno al intervalo [- π/2, π/2] forman un par de funciones inversas. Podríamos llamar seno y arcoseno a los pares convencionales de funciones inversas. Otro ejemplo de pares convencionales de funciones inversas es un par de raíz ajustada y cuadrada de x del X. Pero debemos recordar que los hechos, que son verdades para los pares de funciones inversas, no son necesario verdades para los pares convencionales de funciones inversas.
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