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El esquema de la cuadratura del tanh-sinh era fue convertido por Takasi y Mori: Takahasi, Hidetosi; Mori, Masatake (1974), “fórmulas exponenciales dobles para la integración numérica”, publicaciones del instituto de investigación para las ciencias matemáticas 9 (3): 721-741
La última publicación: David H. Bailey, Karthik Jeyabalan, y Xiaoye S. Li, “una comparación del esquema de alta precisión de la cuadratura tres”. Matemáticas experimentales, 14.3 (2005).
Hemos hecho nuestra propia investigación con la ayuda de la precisión 90 de la calculadora de la cuadratura.
El esquema trabajó muy bien para la variedad grande de funciones lisas. Incluso para las funciones con los derivados growing en el extremo señala.
El esquema no podido para converger con la función gamma.
Una función especial fue construida para mostrar que el esquema da a veces respuesta equivocada. A saber f (x) = (sin(8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. El esquema da resultado cerca de cero. Era fiable porque las funciones tienen valor cero en las puntas donde el esquema calcula en el nivel 1 y 2. Pero el integral real no está cerca a cero. Ver su gráfico:
En la publicación “Tanh-Sinhn cuadratura de alta precisión” David H. Bailey1 el 19 de enero de 2006, David Bailey da el h* de la valoración del error (h (2π))^2*Σ (- n; n; f '' (k*h)). David Bailey lo considera como “alto exacto”. En el experimento pasamos esta fórmula 4.2E-5 para lechuga romana (x) encendido [- 1, 1] en el nivel 5 con los dígitos reales y la incertidumbre correspondiente 5.0E-15 de la exactitud 15. En el nivel 6 sería 1E-5 y en el nivel 7 (exactitud real más de 90 dígitos) sería 2.5E-6. De hecho, h*Σ (- n; n; f '' ()/(del k*h) 2π) ^2 no cambia perceptiblemente y h^2 es dividido por 4 en cada nivel. Tal valoración está lejos de ser “alto exacta”.
Conclusión. El esquema de la cuadratura del tanh-sinh converge rápidamente y exactamente para la variedad grande de funciones con pocas anomalías. No hay procedimiento universal práctico de la valoración del error. Cuando converge el algoritmo “normalmente”, la diferencia entre las sumas de los niveles es una valoración práctica del error.
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