Undersökande omvändningfunktioner

Matematisk programvara. Matematisk forskning. Matematisk utbildning. Tvalx produkter.

 

Det finns inte någon kort formell definition av omvändningfunktioner. Här vi försöker att undvika formell definition och att beskriva omvändningfunktioner för att introducera avläsaren till begreppet. Låt oss betrakta funktion y = 2^x, using överskrift y = 2x:

 

y = 2^x

När x=0, y=2^0=1. När x=1, y=2^1=2. När x=2, y=2^2=4. Låter nu för att fråga: för vilket x y=1? Svar: för x=0. För vilket x y=2? För x=1. För vilket x y=4? För x=2.  Således för något givet värde av y vi har att motsvara exakt ett X. Detta tillfredsställer definitionen av funktionen. Så vi har en funktion var y är argumentet och x är ett värde och, var området är område av y=2^x och område är området av y=2^x. Vid konstruktion vår funktion för det givna argumentet retur verkligt nummer b such att a=2^b. Denna är en definition av logaritmen med grund 2. Beteckningssystem b=log2a eller x=log2y. Sedan av regel argumentet betecknas av x och värde vid y, vi måste att slå x och Y. Således vi får y=log2x. Denna funktion är vid konstruktion omvändningfunktionen av y = 2x. Bemärk att grafen för y = 2x och grafen för x=log2y sammanträffar. Men, när vi slår roller av x och y, grafen reflekteras med hänsyn till huvuddiagonalen av det coordinate systemet. Således grafen av y=log2x är symmetrisk till grafen av y = 2x med hänsyn till huvuddiagonalen:

y = 2^x och y = grund 2 för journal (x)

Betrakta nu y=sin (x). Låt oss bygga en omvändningfunktion för sinus. Så for givet värde av y vi önskar att finna x such att y=sin (x). Låt oss beteckna sådan omvändningfunktion vid G. Så x=g (y). Slå nu roller av x och Y. Vi får y=g (x). Oss nu den graf av y=g (x) som är symmetrisk till grafen av y=sin (x) med hänsyn till huvuddiagonalen. Vi kan bygga sådan bild using den Graphing räknemaskinen 2D som är parametrisk från Mathmittnivå 2:

x=tau, y=sin (tau) och x=sin (tau), y=tau

Vi ser att grafen av G (x) inte tillfredsställer kravet för funktioner som för givet x där är exakt ett motsvarande Y. Så vad vi byggde, är inte en funktion. Var ting gick wrong? Skillnaden mellan y = 2x och y=sin (x) är, att första är den one-to-one funktionen och sekunden, är inte. Vi kan inte bygga omvändningfunktionen för y=sin (x) på samma långt som för y = 2x. Boten av läget är att narrow område av sin(x) för att sortera var den är på-till-en. Vi kan välja något mellanrum av längdπ, men regeln är att välja nära beskärningen, från - π/2 till π/2. På sådant område sin(x) är one-to-one. Nu vi kan bygga omvändningfunktionsG (x) för sådant ”begränsade” sin(x):

y=sin (x) och y=asin (x) på [- pi/2, pi/2]

Den gröna linjen är grafen av den begränsade sinuset, och blålinjen är omvändningfunktionen av sinuset. I det höger fönstret vi kan se att nära beskärning som båda funktioner är nästan huvuddiagonalen y=x. omvändningfunktionen av sinuset kallades Historically Arcsine, det är bågen (vinkel) som motsvarar till givet värde av sinuset. Området av arcsinen är mellanrummet [- 1, 1] och området är [- π/2, π/2].

Liknande vi bygger Arccosine för Cosine med område [- 1, 1] och område [0, π]. Den purpura linjen är grafen av cosinen, och den gula linjen är grafen av Arccosine.

y=cos (x) och y=acos (x) på [0, pi]

Liknande vi bygger Arctangent med område den hela verkliga linjen och området (- π/2, π/2).

y=atan (x)

Liknande vi bygger Arccotangent med området som består av två mellanrum (- oändlighet, 0), (0, oändlighet) och område som består av två mellanrum [- π/2, 0), (0, π/2]. Bemärk att nolla inte är i området. Sannerligen på båge nolla sinuset är nolla. Efter =cos för ctg (x) (x) /sin (x), ctg (0) skulle är cos(0) /sin (0) =1/0 vad är omöjlig. Den gröna grafen av Arccotangent är en reflexion av den centrala delen av den blåa grafen av cotangenten med hänsyn till huvuddiagonal. Även om det låtna vara (grova) fönstret visar att den gröna vertikala linjen (begränsning av programmering) det höger (det finare) fönstret visar att Arccotangent inte är att definiera på nolla.

y=actg (x) och y=ctg (x)

Efter trigonometric funktioner för byggnadsomvändning uppgiften av byggnadsomvändningfunktionen av y=x^3 är lätt. Tydligt detta är tredje rotar av x eller den samma y=x^en (1/3):

y=x^3 och y=x^ (1/3)

Betrakta y=x^2. Igen denna är inte den one-to-one funktionen, och vi narrow område av y=x^2 till mellanrum [0, oändlighet), var y=x^2 är one-to-one. Tydligt omvändningfunktionen av y=x^2 är fyrkantig rotar av x, y=x^ (1/2):

y=x^2 och x=^ (1/2)

Bemärk att vi lärer att bygga omvändningfunktionen för någon funktion. Vi planerar funktioner till funktioner liknande till planering av nummer till nummer. Planeringen av funktioner till funktioner kallas operatören. Så vi applicerar omvändningfunktionsoperatören till en funktion f (x) och får omvändningfunktionsG (x). Sådant G (x) är betecknat f -1 (x). Ser liknande till f (x) i ström negativ en. Använd sammanhanget för att skilja. Således i stället för Arcsine, Arccosine, Arctangent och Arccotangent vi kan skriva sin-1, cos-1, tan-1, ctg-1. Bemärk att omvändningfunktionen av omvändningfunktionen är den originella funktionen, det är (f -1 (x))- 1=f (x). Bemärk också det f (f -1 (x))=x på område av f -1 (x) bara f -1 (f (x)) är inte nödvändigt x på område av f (x). Vad är trick? Skillnaden är i område (och område). Området av f (f -1 (x)) är området av f -1 (x), det är område av f (x) och området av f -1 (f (x)) är området av f (x).  Grafen av f (f -1 (x))  är alltid en del av huvuddiagonalen. Grafen av f -1 (f (x)) kan sammanträffa med huvuddiagonalen endast på beskärningen (ibland med den hela huvuddiagonalen). Nedanför är exempel.

^ för y= (x^2) (1/2)

^ för y= (x^2) (1/2)

 

y= (x^ (1/2))^2

y= (x^ (1/2))^2

 

y=arcsin (sin(x))

y=arcsin (synda (x))

Den samma grafen som arcsin (sin(x)) har ^floor för funktionen (- 1) (1/2 - x/π) * (x+π*floor (1/2-x/π)).

y=sin (arcsin (x))

y=sin (arcsin (x))

 

y=arccos(cos(x))

y=arccos (cos (x))

y=cos(arccos(x))

y=cos (arccos (x))

y=arctan (solbränna (x))

y=arctan (solbränna (x))

 

y=tan (arctan (x))

y=tan (arctan (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=arcctg (ctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

y=ctg (arcctg (x))

 

 

© Tvalx 2008

Tvalx logo