Undersökande Taylor och Maclaurin Polynomials

Matematisk programvara. Matematisk forskning. Matematisk utbildning. Tvalx produkter.

 

Som vi vet, interna datorfunktioner är nätt primitiva binära funktioner. Vi kan inte förvänta att det finns maskinkoder för beräknande uttryck som sin(1/4). Det är uppgifter för programmerare. Naturligtvis den Maclaurin och Taylor polynomialen bör gällas här som bron mellan arithmetic funktioner och släta funktioner. Låt oss undersöka kapaciteter av Maclaurin och Taylor serier med hjälp av den Graphing räknemaskinen 2D som är numerisk från Mathmittnivå 2.

Betrakta grafen av sinusy=sin (x). Den Maclaurin serien för sinus är Σ (0; oändlighet; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!) . Låt oss jämföra grafen av sinuset med grafer av Maclaurin polynomials av den olika graden för sinus. I uttryck av den numeriska Graphing räknemaskinen 2D den Maclauren polynomialen för sinus är Σ (0; grad; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!). Även polynomialen av nollgraden, det är y=x, är en god approximation nära beskärningen.

Σ (0; 0; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Är därefter den Maclaurin polynomialen av grundexamen:

Σ (0; 1; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Är därefter den Maclaurin polynomialen av den andra graden:

Σ (0; 2; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Är därefter den Maclaurin polynomialen av den tredje graden:

Σ (0; 3; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Är därefter den Maclaurin polynomialen av den fjärde graden:

Σ (0; 4; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

 

Nu den allmänna picuturen blir klar. Låt oss accelerera och hoppa till den Maclaurin polynomialen av den tionde graden:

Σ (0; 10; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Är därefter den Maclaurin polynomialen av den tjugonde graden:

Σ (0; 20; (- 1) ^k*x^ (2k+1)/(2k+1)!)

Det är klart att vi kan finna den Maclaurin polynomialen av den tillräckligt stora graden för något X. Således vi kan approximate sin(x) på mellanrum av någon längd runt om beskärningen som beräknar den Maclaurin polynomialen av den tillräckligt stora graden. Ljuder gott, except den beräkning av den Maclaurin polynomialen av den tjugonde graden var notably longer än beräkning av den Maclaurin polynomialen av den fjärde graden. Vi vet det som fyller på ett nummer n till x i formel av funktionsförskjutningsgrafen till vänstersidan vid n-enheter. Subtrahering i motsvarande grad av ett nummer n till x i formel av funktionen skiftar grafen till höger sida vid n-enheter. Låter tryen Σ (0; 4; (- 1) ^k* (x-5) ^ (2k+1)/(2k+1)!) :

Fel förskjutning

Vi ser att polynomialen inte är en god approximation av sinuset anymore. Vad är fel? Byta ut x vid x-5 vi gör den Maclaurin polynomialen in i den Taylor polynomialen. Men i den Taylor polynomialen för sinus på 5 koefficienten på användaren av den nth graden är inte bara (- ^n för 1), vad växlar sinus och cosinen på nolla, bara den växlande sinuset och cosinen på 5. Att att bota lägena l5At oss skifta vid multiple av 2π. Därefter koefficienterna är igen (- 1) ^n.-förskjutningen vid 2π till vänstersidan:

Taylor polynomial på -2pi

Skifta vid 2π till höger sida:

Taylor polynomial på 2pi

Så för en god approximation vi finner först närmast given x-multiple av 2π. Beräkna därefter den motsvarande Taylor polynomialen med någon (inte mycket hög) grad. Från bilden under vi kan se att även graden ger framåt inte dålig approximation:

Fjärde grad för Taylor polynomial 

 

© Tvalx 2008

Tvalx logo