Omvändningfunktioner. Grundlig study av begreppet.

Matematisk programvara. Matematisk forskning. Matematisk utbildning. Tvalx produkter.

 

 

I de undersökande omvändningfunktionerna för artikeln vi gjorde den första inställningen till ämnet som undviker formell definition av omvändningfunktionen. Låt oss studera grundligt begreppet av omvändningfunktionen.

Från in:ställa-teoretisk punkt av sikten en funktion är en set av försorterade par. Till exempel y=2x är {(x, 2*x) | x ϵ R}. Ta någon one-to-one funktion f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)}, var f betecknar funktionen som en set av försorterade par och som regel av beräkning av y för givet X. Området av f är D, och området är R. Betrakta seten av försorterade par G = {(y, x) | x ϵ D, y=f (x)}. Så vi slogg x och Y. Är G en funktion? Sedan f är one-to-one, ja, G är en funktion. För varje givet y vi har exakt ett motsvarande X. Bokstäverna x och y är bara symboler använda insidan krullade konsoler. Om vi skriver G = {(a, b) | x ϵ D, a=f (b)}, logiken ändrar inte. Så vi kan skriva G = {(x, y) | y-ϵ D, x=f (y)} att att följa regel, att argumentet betecknas av x och värde, betecknas av Y. Således vi kan formulera en definition:

Definition 1.

Låt f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} var en one-to-one funktion. Därefter G = {(x, y) | y-ϵ D, x=f (y)}kallas omvändningfunktionen för F.

 

Av regel en omvändningfunktion av f betecknas av f -1. Så G = f -1.

Det är möjligt att ge ett strängt in:ställa-teoretiskt provexemplar att det finns exakt en omvändningfunktion för givet F. Låt oss acceptera det som tydligt.

Bemärk att, om G är omvändningfunktionen för f därefter f är omvändningfunktionen för G. Sannerligen f = {(x, y) | x ϵ D, y=f (x)} = {(x, y) | y-ϵ R, x=g (y)}. Således de logiska rollerna av f och G är symmetriska. Neither f nor G har någon preferens över varje annan. Således vi kan säga att för någon one-to-one funktion det finns exakt en par av ömsesidigt omvändningfunktioner. Sannerligen slående x och y-resultat, i att slå mellan två funktioner. Låt oss kalla det ett par av ömsesidigt omvändningfunktioner.

Bland standardfunktioner vi har following par av ömsesidigt omvändningfunktioner:  (e^x, ln (x)), (sinh (x), asinh (x)). Vi kan också konstruera mer trivial par av ömsesidigt omvändningfunktioner: (2x, x/2), (x^3, x^ (1/3)). Under sådan konstruktion som vi ”löser” den originella funktionen för Y. For example, y = 1 + 2x, lös för y: x =) (för y -1/2. Således vi får ett par av ömsesidigt omvändningfunktioner (1 + 2x, (x - 1) /2). Vi bör använda sådan ”lösning” försiktigt, sedan den fungerar endast för one-to-one funktioner (one-to-one funktioner kallas bijections i Set teori).

Vi som är van vid, tänker av arcsine som omvändningfunktion av sinuset. Är den inte? I avkänning av definition 1 svaret är nr.en. Arcsinen är en bijection och har en omvändningfunktion, det är en begränsning av sinuset till mellanrummet [- π/2, π/2]. Således arcsinen och begränsningen av sinuset till mellanrummet [- π/2, π/2] bildar ett par av omvändningfunktioner. Vi kunde kalla sinus och arcsine per konventionella par av omvändningfunktioner. Ett annat exempel av konventionella par av omvändningfunktioner är ett kvadrerat par av x, och fyrkantigt rota av X. Men vi bör minnas att fakta, som är riktiga för par av omvändningfunktioner, inte är nödvändigt riktiga för konventionella par av omvändningfunktioner.

 

© Tvalx 2008

Tvalx logo