Undersökande Tanh-Sinh Quadratureplan

Matematisk programvara. Matematisk forskning. Matematisk utbildning. Tvalx produkter.

 

 

Tanh-sinhquadratureplanen var framkallades av Takasi och Mori: Takahasi Hidetosi; Mori Masatake (1974), ”dubbla exponential- formler för numerisk integration”, publikationer av forskningsinstitut för matematiska vetenskaper 9 (3): 721-741

Den senaste publikationen:  David H. borggård, Karthik Jeyabalan och Xiaoye S. Li, ”en jämförelse av den high-precision planen för quadrature tre”. Experimentell matematik, 14.3 (2005).

Vi har gjort vår egen forskning med hjälp av Quadratureräknemaskinprecision 90.

Planen fungerade mycket gott för stor variation av släta funktioner. Även för funktioner med growing derivata på slutet pekar.

Planen som stannas för att konvergera med Gamma funktion.

En specialfunktion konstruerades för att visa att planen ger ibland wrong svar. Namely f (x) = (sin(8*π*asinh (2/π*atanh (x))))^2. Planen ger resultat nästan nolla. Den var förutsägbar, därför att funktionerna har nollvärde på punkter var planen beräknar på nivå 1 och 2. Men den faktiska integralen är inte nästan noll. Se dess graf:

Exempel för Tanh-Sinh Quadratureräknare

 

I publikationen ”Tanh-Sinhn den High-Precision quadraturen” David H. Bailey1 19 Jan 2006, den David borggården ger felanseendeh* (H (2π))^2*Σ (- n; n; f '' (k*h)). Den David borggården betraktar den som ”högt exakt”. I experiment vi fick by denna formel 4.2E-5 för cos(x) på [- 1, 1] på nivå 5 med faktiska siffror och motsvarande osäkerhet 5.0E-15 för exakthet 15. På nivå 6 som den skulle, var 1E-5, och på nivå 7 (faktisk exakthet mer än 90 siffror) den skulle, var 2.5E-6. Sannerligen h*Σ (- n; n; f '' (k*h))/(2π) ^2 ändrar inte viktigt, och h^2 delas av 4 på varje nivå. Sådant anseende är långt från att vara ”högt exakt”.

Avslutning. Tanh-sinhquadratureplanen konvergerar snabbt och exakt för stor variation av funktioner med få undantag. Det finns inte något praktiskt universalfelanseendetillvägagångssätt. När algoritmen konvergerar ”normalt”, skillnaden mellan nivåsummor är ett praktiskt felanseende.

 

 

 

 

© Tvalx 2008

Tvalx logo